Analiza matematyczna

Wstęp 13 § 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje równoważności. Podział na klasy 15 5. Funkcje 16 6. Zbiory przeliczalne 20 § 2. Liczby rzeczywiste 22 1. Zbiór R liczb rzeczywistych jako ciało 22 2. Relacja mniejszości. Zasada ciągłości 23 3. Przedziały. Wartość bezwzględna 25 4. Przykłady zastosowania zasady ciągłości 25 5. Funkcje o wartościach rzeczywistych 27 § 3. Liczby zespolone 28 1. Ciało C liczb zespolonych 28 2. Geometryczna interpretacja liczb zespolonych. Moduł i argument liczby 29 3. Funkcje o wartościach zespolonych 30 Rozdział I. Elementy topologii 31 § 4. Przestrzenie metryczne 31 1. Definicja 31 2. Średnica zbioru. Zbiory ograniczone 31 3. Granica ciągu punktów 32 § 5. Granica ciągu liczbowego 34 1. Własności granicy ciągu liczbowego 34 2. Granica ciągu liczb rzeczywistych 36 3. Przykłady 39 4. Liczba e 41 § 6. Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych R 43 1. Definicje 43 2. Granice ekstremalne ciągu 44 3. Granica ciągu 46 4. Funkcje o wartościach w R 48 § 7. Przestrzenie metryczne zupełne 49 1. Definicja. Zupełność przestrzeni R 49 2. Twierdzenie o punkcie stałym 50 § 8. Produkt kartezjański przestrzeni metrycznych 52 1. Metryka i zbieżność w produkcie 52 2. Produkt przestrzeni zupełnych 54 § 9. Granica funkcji 55 1. Granica funkcji w punkcie 55 2. Granica funkcji o wartościach liczbowych 56 3. Granica funkcji o wartościach rzeczywistych 57 4. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej 58 5. Granica funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych 59 6. Przykłady 60 § 10. Funkcje ciągłe 63 1. Definicja i podstawowe twierdzenia 63 2. Przykłady 65 § 11. Ciągi fukcyjne 68 1. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna 68 2. Własność granicy ciągu zbieżnego jednostajnie 69 § 12. Przestrzenie topologiczne 71 1. Topologia. Zbiory otwarte. Wnętrze zbioru 71 2. Zbiory domknięte. Domknięcie zbioru 73 3. Topologia w przestrzeni metrycznej 74 § 13. Topologia w podzbiorze przestrzeni topologicznej 77 1. Topologia indukowana 77 2. Przypadek przestrzeni metrycznej 78 § 14. Produkt kartezjański przestrzeni topologicznych 79 1. Topologia w produkcie 79 2. Przypadek produktu przestrzeni metrycznych 79 § 15. Funkcje ciągłe w przestrzeniach topologicznych 80 1. Definicja 80 2. Homeomorfizmy 81 § 16. Przestrzenie ośrodkowe 82 1. Definicja 82 2. Przypadek przestrzeni metrycznej 83 3. Produkt kartezjański przestrzeni ośrodkowych 84 § 17. Przestrzenie zwarte 85 1. Definicja. Przypadek przestrzeni metrycznej 85 2. Produkt kartezjański przestrzeni zwartych 87 3. Funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych zwartych 88 4. Przestrzeń C(X; Y) 90 § 18. Przestrzenie spójne 91 1. Definicja. Zbiory spójne w przestrzeni R 91 2. Kryteria spójności 92 3. Zastosowanie: funkcje cyklometryczne i funkcja logarytmiczna 93 Rozdział II. Elementy analizy funkcjonalnej 96 § 19. Przestrzenie unormowane 96 1. Przestrzenie liniowe 96 2. Przykłady 98 3. Podstawowe pojęcia geometryczne 98 4. Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha 99 5. Produkt kartezjański przestrzeni unormowanych 101 6. Wektory statystyczne do zbioru. Hiperpłaszczyzna styczna 102 7. Funkcje o wartościach w przestrzeni unormowanej 103 8. Przestrzeń unormowana C(X; Y) 104 § 20. Przestrzenie unitarne 105 1. Iloczyn skalarny. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta 105 2. Ortogonalność. rzut ortogonalny 107 3. Przestrzenie unitarne skończenie wymiarowe 108 § 21. Funkcje liniowe 110 1. Definicja. Funkcje liniowe ciągłe 110 2. Zbiór funkcji liniowych ciągłych L(X; Y) jako przestrzeń unormowana 111 3. Przykłady 113 § 22. Funkcje wieloliniowe 115 1. Definicja. Funkcje wieloliniowe ciągłe 115 2. Przestrzeń L(X₁,...,X_k; Y) 116 3. Przykłady 116 § 23. Szeregi 119 1. Szeregi elementów przestrzeni unormowanych. Ogólne kryteria zbieżności 119 2. Przykłady 121 3. Szeregi zbieżne bezwzględnie 123 4. Szeregi liczb nieujemnych 125 5. Szeregi podwójne elementów przestrzeni unormowanej 127 6. Twierdzenie Cauchy'ego o mnożeniu szeregów 130 7. Szeregi podwójne liczb nieujemnych 131 8. Szeregi funkcyjne 133 § 24. Izomorfizmy i izometrie 136 1. Przestrzenie izomorficzne 136 2. Przestrzenie izometryczne 138 3. Przykłady 139 Rozdział III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego 142 § 25. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej 142 1. Definicje 142 2. Interpretacja geometryczna pochodnej 143 3. Podstawowe reguły różniczkowania 146 § 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych 149 1. Przykłady 149 2. Pochodna nieskończona 152 3. Twierdzenie Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego 152 4. Reguły de L'Hospitala 154 § 27. Ogólne twierdzenia o przyrostach dla funkcji zmiennej rzeczywistej 157 1. Problem uogólnienia twierdzeń Lagrange'a i Cauchy'ego na przypadek funkcji o wartościach w przestrzeniach unormowanych 157 2. Zastosowanie: pochodna granicy 158 § 28. Pochodne wyższych rzędów funkcji zmiennej rzeczywistej 160 1. Definicje 160 2. Zastosowanie pochodnej rzędu drugiego do badania wypukłości funkcji 162 3. Wzór Taylora 164 4. Szereg Taylora 168 5. Funkcja wykładnicza i funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej 169 § 29. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych rzeczywistych 171 1. Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego 171 2. Twierdzenie o przyrostach. Warunek Lipschitza 172 3. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów 173 § 30. Pochodne kierunkowe 175 1. Definicje 175 2. Związek z pochodnymi cząstkowymi 175 § 31. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona 177 1. Funkcja pierwotna 177 2. Całka nieoznaczona 179 3. Reguły całkowania 179 4. Całkowanie funkcji elementarnych 180 § 32. Całka oznaczona funkcji ciągłej 186 1. Definicja 186 2. Wzory rachunkowe 187 3. Nierówności. Twierdzenie o wartości średniej 188 Rozdziały IV. Równania różniczkowe zwyczajne 191 § 33. Ogólna teoria równań różniczkowych 191 1. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego. Zagadnienia początkowe 191 2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego 192 3. Układy równań różniczkowych rzędu pierwszego 199 4. Równania różniczkowe wyższych rzędów 200 § 34. Równania różniczkowe liniowe 203 1. Układy równań liniowych rzędu pierwszego 203 2. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach 206 3. Równanie liniowe rzędu n 209 4. Równanie liniowe rzędu n o stałych współczynnikach 212 Rozdział V. Ogólna teoria różniczkowa 215 § 35. Pochodna funkcji określonej na podzbiorze przestrzeni unormowanej 215 1. Definicja. Związek z pochodną kierunkową 215 2. Przypadek funkcji zmiennej rzeczywistej. Równoważność obu definicji pochodnej 216 3. Interpretacja geometryczna pochodnej 217 4. Przykłady 219 5. Liniowość operacji różniczkowania 220 6. Twierdzenia o przyrostach 222 § 36. Pochodna funkcji wielu zmiennych. Związek z pochodnymi cząstkowymi 224 1. Pochodna funkcja określonej na podzbiorze przestrzeni R^m 224 2. Uogólnienie: pochodna funkcji określonej na podzbiorze produktu przestrzeni unormowanych 224 3. Pochodna funkcji o wartościach w produkcie przestrzeni unormowanych 228 4. Synteza obu przypadków 229 § 37. Różniczkowanie złożenia 231 1. Ogólne twierdzenie o pochodnej złożenia 231 2. Różniczkowanie złożenia w przestrzeniach arytmetycznych 233 3. Uogólnione twierdzenie o pochodnej iloczynu 234 § 38. Dyfeomorfizmy 235 1. Różniczkowanie funkcji odwrotnej 235 2. Odwzorowania regularne i dyfeomorfizmy 238 § 39. Funkcje uwikłane 240 1. Ogólne twierdzenie o funkcjach uwikłanych 240 2. Funkcje uwikłane określone układem równań w przestrzeniach arytmetycznych 243 § 40. Pochodne wyższych rzędów 245 1. Wstęp 245 2. Pochodna rzędu drugiego 246 3. Pochodna rzędu n 248 4. Przypadek funkcji zmiennej rzeczywistej. Równoważność obu definicji pochodnej rzędu n 250 5. Funkcje klasy C_n 251 6. Pochodna rzędu n funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. Związek z pochodnymi cząstkowymi 253 7. Wzór Taylora 253 § 41. Ekstrema funkcji 260 1. Definicja 260 2. Kryteria 260 Rozdział VI. Teoria miary i całki 266 § 42. Ogólna teoria miary 266 1. Wstęp 266 2. ?-ciała 266 3. Miara 267 4. Miara zewnętrzna 271 § 43. Miara Lebesgue'a w R^m 276 1. Przedziały. Objętość przedziału 276 2. Miara Lebesgue'a 279 3. Charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a 281 § 44. Funkcje mierzalne 289 1. Definicja 289 2. Działania na funkcjach mierzalnych 291 § 45. Całka funkcji mierzalnej nieujemnej 295 1. Całka funkcji prostej nieujemnej 295 2. Definicja całki funkcji mierzalnej nieujemnej 299 3. Podstawowe własności całki 301 4. Twierdzenie o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki 305 5. Całka jako funkcja zbioru 305 § 46. Całka funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha 307 1. Całka funkcji prostej 307 2. Całkowalność i definicja całki 310 3. Podstawowe własności funkcji całkowalnych 312 4. Przypadek funkcji o wartościach rzeczywistych 318 5. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki 319 6. Całka jako funkcja zbioru 322 § 47. Całka Lebesgue'a 324 1. Wstęp 324 2. Całka funkcji ciągłej 324 3. Całka funkcji jednej zmiennej. Całki niewłaściwe 327 4. Zasada Cavalieriego 334 5. Geometryczna interpretacja całki funkcji mierzalnej nieujemnej 340 6. Całkowanie przez sprowadzenie do całki iterowanej 341 7. Całkowanie przez podstawienie 349 8. Całka jako funkcja parametrów 360 Rozdział VII. Całki na hiperpowierzchniach 364 § 48. Hiperpowierzchnie 364 1. Definicja 364 2. Odwzorowania regularne pozdbiorów przestrzeni R^k w przestrzeniach R^m (k?m). Dyfeomorfizmy 367 3. Hiperpowierzchnie gładkie i kawałkami gładkie 370 4. Łuki i kontury 377 5. Podprzestrzeń styczna i hiperpłaszczyzna styczna 378 § 49. Miara i całka na powierzchniach 382 1. Objętość równoległościanu k-wymiarowego w R^m 382 2. Miara i całka na hiperpowierzchni gładkiej 385 3. Miara i całka na hiperpowierzchni kawałkami gładkiej 391 § 50. Formy różniczkowe 394 1. Funkcje wieloliniowe skośnie symetryczne 394 2. Iloczyn zewnętzny funkcji wieloliniowych skośnie symetrycznych 396 3. Formy różniczkowe 401 4. Iloczyn zewnętrzny form różniczkowych 401 5. Różniczka zewnętrzna funkcji 403 6. Postać kanoniczna formy różniczkowej 403 7. Różniczka zewnętrzna formy różniczkowej 405 8. Zamiana zmiennych w formach różniczkowych 409 § 51. Orientacja hiperpowierzchni 412 1. Orientacja przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej 412 2. Orientacja podprzestrzeni (k-1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej k-wymiarowej 414 3. Orientacja hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie orientowalne 415 § 52. Całka formy różniczkowej na hiperpowierzchni zorientowanej 424 1. Definicja i podstawowe własności całki 424 2. Twierdzenie o rozkładzie jedności 429 3. Twierdzenie Stokesa 432 § 53. Całka 1-formy po drodze 446 1. Definicja i podstawowe własności całki 446 2. Funkcja pierwotna i niezależność od drogi całkowania 449 3. Przypadek formy zamkniętej 452 4. Interpretacja w teorii pola 458 Rozdział VIII. Funkcje zmiennej zespolonej 460 § 54. Różniczkowanie i całkowanie w dziedzinie zespolonej 460 1. Pochodna. Funkcje holomorficzne 460 2. Szeregi potęgowe 461 3. Kryterium różniczkowalności 464 4. Całkowanie po drodze. Funkcja pierwotna 466 5. Logarytm 467 6. Całka krzywoliniowa 469 § 55. Wzór całkowy Cauchy'ego i jego konsekwencje 473 1. Wzór całkowy Cauchy'ego 473 2. Rozwijalność funkcji holomorficznej w szereg potęgowy. Funkcje analityczne 474 3. Zera funkcji holomorficznej 476 4. Rozwinięcie funkcji holomorficznej w szeregu Laurenta 476 5. Punkty osobliwe odosobnione 478 6. Residua funkcji holomorficznej 479 Rozdział IX. Wstęp do analizy harmonicznej 483 § 56. Szeregi Fouriera 483 1. Szereg Fouriera funkcji okresowej 483 2. Kryterium Diniego 487 3. Funkcje o wahaniu skończonym 492 4. Kryterium Jordana 493 § 57. Wzór całkowy Fouriera 497 1. Wstęp 497 2. Kryteria przedstawialności funkcji wzorem całkowym Fouriera 498 Literatura 502 Skorowidz 503