Nieliniowa dynamika układów dyskretnych w obszarach rezonansów w ujęciu asymptotycznym. Wybrane zagadnienia

Praca dotyczy wybranych zagadnień nieliniowej dynamiki. Zasadniczym celem, realizowanym w rozprawie, jest analityczny opis nieliniowych zjawisk zachodzących w układach dyskretnych. Przybliżone rozwiązania równań ruchu układów mechanicznych uzyskano dzięki zastosowaniu tzw. metody wielu skal. Analityczna postać wyników umożliwia ich pogłębioną interpretację i wyciąganie wniosków o charakterze jakościowym.
Szczegółowe obliczenia i wyniki są przedstawione dla układów o dwóch i trzech stopniach swobody, które poddane są zewnętrznemu, zmiennemu w czasie oddziaływaniu, wymuszeniu kinematycznemu oraz siłom dyssypatywnym.
Szczególnie dokładnie są analizowane zjawiska zachodzące w rezonansach. Zastosowane analityczne podejście pozwala ustalić warunki występowania wszystkich rezonansów dla danego przybliżenia asymptotycznego.
Uzyskano miedzy innymi przebiegi czasowe zmiennych uogólnionych, równania modulacji ich amplitud i faz oraz krzywe rezonansowe.
Zaproponowano także sposób uzyskiwania równania opisującego ruch wewnętrzny dla pewnego typu sprzężonych oscylatorów i efektywną metodę jego dalszej analizy. Określono również zakresy jakościowo różnych zachowań takiego układu w zależności od parametru nieliniowego.
Opracowana i opisana w pracy metoda rozwiązywania nieliniowych równań ruchu ma charakter ogólny. Może być wykorzystana do badania różnorodnych układów mechanicznych. Z tego powodu może być pomocna w projektowaniu urządzeń, w których istnieje możliwość wystąpienia nieliniowych zjawisk dynamicznych.

1. Wstęp 7 1.1. Wprowadzenie do tematyki drgań nieliniowych 7 1.2. Wybrane zagadnienia i metody badań nieliniowych układów dynamicznych 11 1.3. Cel i układ pracy 13 2. Metody asymptotyczne w zagadnieniach dynamiki 16 2.1. Przegląd metod asymptotycznych 16 2.2. Metoda wielu skal w zastosowaniu do rozwiązywania równań ruchu układów dyskretnych 19 3. Wahadło sprężyste 24 3.1. Wprowadzenie 24 3.2. Sformułowanie problemu 24 3.3. Rozwiązanie asymptotyczne 27 3.4. Drgania w pobliżu rezonansu 33 3.4.1. Drgania ustalone 39 3.4.2. Stabilność 41 3.5. Podsumowanie 44 4. Układ z wymuszeniem kinematycznym 45 4.1. Wprowadzenie 45 4.2. Sformułowanie problemu 45 4.3. Rozwiązanie asymptotyczne 49 4.4. Drgania w pobliżu rezonansu 59 4.4.1. Warunki rezonansu 59 4.4.2. Modulacje amplitud i faz 60 4.4.3. Drgania ustalone 64 4.4.4. Stabilność 72 4.5. Podsumowanie 74 5. Układ o trzech stopniach swobody 76 5.1. Wprowadzenie 76 5.2. Sformułowanie problemu 76 5.3. Rozwiązanie asymptotyczne 79 5.4. Drgania w pobliżu rezonansu 86 5.4.1. Warunki rezonansu 86 5.4.2. Modulacje amplitud i faz 86 5.4.3. Drgania ustalone 91 5.5. Podsumowanie 94 6. Trajektorie graniczne dla oscylatorów sprzężonych o dwóch stopniach swobody 95 6.1. Wprowadzenie 95 6.2. Oscylator harmoniczny z dołączonym oscylatorem nieliniowym 95 6.3. Sformułowanie problemu 96 6.4. Równanie efektywne opisujące ruch wewnętrzny 99 6.5. Opis ruchu w zmiennych zespolonych 102 6.6. Modulacje drgań, drgania ustalone 105 6.7. Drgania nieustalone, graniczne trajektorie fazowe 108 6.8. Drgania tłumione 114 6.9. Podsumowanie 116 7. Wnioski końcowe i tematyka dalszych badań 117 Literatura 119