ebook Podstawy mechaniki kwantowej Stanisław Szpikowski

Wydawca: UMCS

Rok wydania: 2011

Podręcznik mechaniki kwantowej, oprócz treści wspólnych innych książkom z tej dziedziny, zawiera pewne elementy wyróżniające. Został bowiem napisany z zamiarem ułatwienia czytelnikowi, znającemu rachunek różniczkowy i całkowity, studiowanie mechaniki kwantowej bez odwoływania się do innych działów matematyki. Jednym z wyróżników tej książki jest ostatni rozdział poświęcony słynnym historycznym paradoksom mechaniki kwantowej oraz nie mniej rewelacyjnym współczesnym doświadczeniom i ich interpretacji.

Spis treści ebooka Podstawy mechaniki kwantowej

Przedmowa 15
Przedmowa do wydania drugiego 19

I PODSTAWY I POSTULATY 21

1 Doświadczalne podłoże mechaniki kwantowej 23
1.1 Charakter kwantowy zjawisk 23
1.2 Dualizm korpuskularno-falowy 29
2 Postulaty mechaniki kwantowej 35
2.0 Postulat „0” 35
2.1 Postulat I — o przyporządkowaniu 36
2.1.1 Przyporządkowanie operatorów hermitowskich wielkościom fizycznym 37
2.1.2 Warunki komutacji operatorów fizycznych 42
2.2 Postulat II — o wartościach własnych 45
2.2.1 Zagadnienie własne operatora położenia 45
2.2.2 Zagadnienie własne operatorów pędu 47
2.2.3 Zagadnienie własne operatorów momentu pędu 51
2.2.4 Zagadnienie własne operatora energii cząstki swobodnej 62
2.2.5 Ruch cząstki w polu potencjalnym o symetrii sferycznej 64
2.2.6 Atom wodoru w mechanice kwantowej 66
2.3 Postulat III — o wartości średniej 71
2.3.1 Interpretacja współczynników rozwinięcia funkcji w danej bazie 73
2.3.2 Elementarne uwagi o kwantowym pomiarze 75
2.3.3 Interpretacja funkcji własnej 77
2.3.4 Reprezentacja położeniowa i reprezentacja pędowa 78
2.3.5 Zagadnienie jednoczesnego pomiaru kilku wielkości fizycznych, zasada Heisenberga 81
2.4 Postulat IV — o rozwoju funkcji stanu w czasie 85
2.4.1 Stany zależne od czasu 86
2.4.2 Charakter falowy funkcji stanu 91
3 Wybrane zastosowania mechaniki kwantowej 99
3.1 Rachunek zaburzeń 99
3.2 Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana 104
3.3 Efekt Starka 109
3.4 Spin elektronu 112
3.5 Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej 118
3.6 Symetryzacja funkcji wielu cząstek. 123
3.7 Zakaz Pauliego i budowa okresowego układu pierwiastków 131
3.8 Model powłokowy jądra atomu 133
3.9 Wzmianka o kwantowej teorii pasmowej ciał stałych 145

II TRANSFORMACJE I SYMETRIE 153

4 Wektory Diraca oraz ich reprezentacja w liczbie obsadzeń 155
4.1 Zasada superpozycji stanów 155
4.2 Zespoły czyste i mieszane 158
4.3 Wektory „ket” i wektory „bra” 160
4.4 Operatory 162
4.5 Zagadnienie własne 163
4.6 Reprezentacje macierzowe wektorów i operatorów 167
4.7 Uogólnienie na przypadek widma ciągłego 169
4.8 Transformacja unitarna 170
4.9 „Obrazy” (bazy) Schrodingera i Heisenberga 172
4.10 Równania ruchu operatora (macierzy) 175
4.11 Reprezentacja liczby obsadzeń – operatory kreacji i anihilacji fermionów 176
4.12 Operatory kreacji i anihilacji bozonów 182
5 Symetrie a prawa zachowania 185
5.1 Wstęp 185
5.2 Ogólne sformułowanie zagadnienia 186
5.3 Obroty a prawo zachowania momentu pędu 187
5.4 Przesunięcia w zwykłej przestrzeni a prawo zachowania pędu 191
5.5 Przesunięcia w czasie a prawo zachowania energii 192
5.6 Transformacja inwersji przestrzeni a prawo zachowania parzystości 193
6 Zastosowanie symetrii SO(3) i SU(2) w kwantowej teorii momentu pędu 197
6.1 Wstęp 197
6.2 Dodawanie dwóch momentów pędu, współczynniki Clebscha-Gordana 198
6.3 Dodawanie trzech momentów pędu, współczynniki Racah 199
6.4 Dodawanie czterech momentów pędu, współczynniki {9j} („dziewięć j”) 203
6.5 Konstrukcja funkcji układu n cząstek, współczynniki Genealogiczne 206
6.6 Sprzężenie spin-orbita 210
6.7 Jednocząstkowy moment magnetyczny 213
6.8 Sprzężenie spin-orbita w polu magnetycznym 216

III ZDERZENIA, PROMIENIOWANIE GAMMA I RELATYWISTYCZNA MECHANIKA KWANTOWA 221

7 Elementy teorii zderzeń 223
7.1 Przekroje czynne różniczkowy i całkowity 223
7.2 Przybliżenie Borna 227
7.3 Metoda fal parcjalnych (cząstkowych) 230
7.4 Rozpraszanie przy małych energiach wiązki 236
7.5 Rozpraszanie na prostokątnej studni potencjału 238
7.6 Wzmianka o macierzy rozpraszania S 242
7.7 Elementy macierzy rozpraszania a przekroje czynne 247
8 Elementy teorii promieniowania gamma 251
8.1 Obroty pola wektorowego 251
8.2 Macierze spinowe S 254
8.3 Moment pędu kwantów pola elektromagnetycznego 256
8.4 Konstrukcja multipoli elektrycznych i magnetycznych 258
8.5 Dyskusja przejść elektromagnetycznych 264
9 Elementy relatywistycznej mechaniki kwantowej 269
9.1 Równanie Kleina–Gordona 269
9.2 Atom wodoru w teorii Kleina–Gordona 271
9.3 Równanie Diraca 274
9.4 Moment magnetyczny elektronu w teorii Diraca 276
9.5 Spin elektronu w teorii Diraca 279
9.6 Atom wodoru w teorii Diraca 281
9.7 Ruch swobodnego elektronu w teorii Diraca 293
9.8 Stany elektronu o ujemnej energii 297

IV KWANTOWA TEORIA POLA I INTERPRETACJA PODSTAW MECHANIKI KWANTOWEJ 299

10 Elementy kwantowej teorii pola 301
10.1 Pola i cząstki 301
10.2 Zasada Hamiltona i równanie Eulera-Lagrange’a 306
10.3 Lagrangian dla układu ciągłego 307
10.4 Równanie Eulera-Lagrange’a w relatywistycznej teorii pola, pole Kleina-Gordona 310
10.5 Pole Diraca 311
10.6 Globalna symetria cechowania 312
10.7 Lokalna symetria cechowania 314
10.8 Pole elektromagnetyczne – relatywistyczna teoria z lokalną symetrią cechowania 315
10.9 Pole Diraca w obecności pola elektromagnetycznego, warunek cechowania 319
10.10 Kwantowa zasada wariacyjna Schwingera 321
10.11 Kwantowanie pola Kleina-Gordona 325
10.12 Kwantowanie pola Diraca 328
10.13 Realizacja operatorów pola 330
10.14 Funkcje Greena 334
10.15 Funkcje Greena zależne od czasu 338
10.16 Propagacja swobodnej fali i jej rozpraszanie w obszarze krótkozasięgowego potencjału 340
10.17 Propagatory Feynmana 342
11 Interpretacje podstaw mechaniki kwantowej 345
11.1 Wstęp 345
11.2 Doświadczenie dwuszczelinowe 347
11.3 „Doświadczenie z bombą” 349
11.4 „Kot Schrodingera” 351
11.5 Interpretacja Bohra (kopenhaska) mechaniki kwantowej 353
11.5.1 Pomiar układu fizycznego 354
11.5.2 Zasada komplementarności 355
11.5.3 Interpretacja funkcji falowej 356
11.5.4 Nielokalność mechaniki kwantowej 357
11.6 Inne intepretacje mechaniki kwantowej 358
11.6.1 Teoria wielu światów 358
11.6.2 Teoria ukrytych parametrów 358
11.6.3 Interpretacja statystyczna 359
11.7 Paradoks EPR (Einsteina, Podolsky’ego, Rosena) 360
11.8 Wersja spinowa Bohma i Aharonowa paradoksu EPR 362
11.9 Rachunek kwantowy wersji spinowej EPR z fermionami 364
11.10 Rachunek kwantowy wersji spinowej EPR z fotonami 367
11.11 Doświadczenie myślowe Karla Poppera i jego realizacja 371
11.12 Nierówność Bella 376
11.13 Modyfikacje nierówności Bella 380
11.14 Doświadczenia Aspecta. 385
11.15 „Granica” między kwantową a klasyczną fizyką 388
11.16 Konstrukcja i detekcja mezoskopowych stanów kwantowych pojedynczego atomu (jonu) 394
11.17 Kwantowa superpozycja rozróżnialnych makroskopowo stanów 402
11.17.1 Przecięcie poziomów i przerwa energetyczna 402
11.17.2 Podwojna jama potencjału 404
11.17.3 Obwod z nadprzewodnikową interferencją kwantową („Superconductivity QUantum Interference Device –SQUID”) 405
11.18 Splątanie kwantowe dwóch makroskopowych obiektów 407
11.19 Grawitacja, superpozycja i doświadczenie myślowe Penrose’a 412

V PRZYPISY 417

Przypis I. Elementy rachunku operatorowego i macierzowego 419
I.1 Przestrzeń wektorowa 420
I.2 Niezależność liniowa wektorów i wymiar przestrzeni 421
I.3 Iloczyn skalarny wektorów 422
I.4 Operatory liniowe 426
I.5 Równania własne, funkcje i wartości własne 429
I.6 Operatory hermitowskie 435
I.7 Rachunek macierzowy 440
I.8 Operacje na macierzach 444
I.9 Niezmienniczość macierzy 448
I.10 Macierze w równaniach i transformacjach liniowych 450
I.11 Równania charakterystyczne i pierwiastki macierzy 454
I.12 Równania własne, wektory i wartości własne macierzy 456
I.13 Dwa twierdzenia o macierzach hermitowskich 459
I.14 Równoważność operatorów liniowych i macierzy 461
Przypis II. Aksjomaty przestrzeni Hilberta 467
Przypis III. Elementy macierzowe operatorów momentu pędu 471
Przypis IV. Elementy teorii grup 475
IV.1 Wstęp 475
IV.2 Grupa symetrii hamiltonianu układu 477
IV.3 Reprezentacje równoważne 479
IV.4 Dodawanie reprezentacji 480
IV.5 Reprezentacje przywiedlne i nieprzywiedlne 481
IV.6 Iloczyn Kroneckera dwóch nieprzywiedlnych reprezentacji 484
IV.7 Dwa zagadnienia zastosowań teorii grup 486
IV.8 Przykład zastosowań: grupa obrotów SO(3) 486
IV.9 Własności symetrii współczynników Clebscha-Gordana 491
IV.10 Nieprzywiedlne operatory tensorowe 493
IV.11 Twierdzenie o ortogonalności 494
IV.12 Twierdzenie Wignera–Eckarta 495
IV.13Warunki komutacji nieprzywiedlnych operatorów tensorowych 498
IV.14 Elementy macierzowe operatorów J+1, J-1, J0 499
IV.15 Algebry Liego 501
Przypis V. Współczynnik normalizacyjny antysymetrycznego wektora stanu trzech cząstek 507
Przypis VI. Współczynniki Clebscha–Gordana (j1m1j2m2,jm) dla j2 = 1/2 i j2 = 1 509
Przypis VII. Kilka dowodów z rozdziału 8 511
Przypis VIII. Uzasadnienie podstawienia (9.84) 515
Przypis IX. Umowne oznaczenia w relatywistycznej teorii pola 519
Przypis X. Macierz gęstości 521
Przypis XI. Stany koherentne oscylatora harmonicznego 525
Przypis XII. Miara koherencji stanu splątanego (11.16) 531
Przypis XIII. Bibliografia do rozdziału 11 537
Przypis XIV. Zbiór zadań: transformacje i symetrie 541
XIV.1 Obroty pola skalarnego 541
XIV.2 Transformacje i operatory infinitezymalne 559
XIV.3Operatory Casimira 571
XIV.4 Grupa unitarna 593