ebook Elementy analizy tensorowej. Wydanie 1 Leszek M. Sokołowski

Wydawca: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego

Rok wydania: 2010

Podręcznik akademicki będący znacznym rozszerzeniem wykładu prowadzonego od wielu lat dla studentów fizyki i astronomii Uniwersytetu Jagiellońskiego. Zawiera unowocześniony kurs przeznaczony dla wszystkich, którzy używają tensorów w naukach fizycznych i technicznych.

Czytelnicy znający analizę matematyczną i algebrę liniową w zakresie standardowego kursu politechnicznego znajdą tu szczegółowe wyjaśnienie, czym jest rozmaitość różniczkowa, wektor i tensor oraz dlaczego wektor nie należy do przestrzeni, w której punktach jest zdefiniowany. Dużo uwagi poświęcono tu również zagadnieniom, które w tradycyjnych wykładach rachunku tensorowego są zazwyczaj pomijane: pochodnej Liego i jej związkom z symetriami i prawami zachowania, tensorom względnym i znajdowaniu linii geodezyjnych.

Dodatkiem do głównego tekstu są liczne starannie przeliczone przykłady oraz wiele zadań. Ostatni rozdział, zachowując podręcznikowy, dydaktyczny charakter, jest zarazem monografią zastosowań analizy tensorowej do badania krzywizny i symetrii przestrzeni Riemanna oraz czasoprzestrzeni.

Podręcznik ten będzie interesujący także dla matematyków, stanowi bowiem etap pośredni między klasyczną geometrią w przestrzeni trójwymiarowej a nowoczesną abstrakcyjną geometrią różniczkową rozmaitości.

Spis treści ebooka Elementy analizy tensorowej. Wydanie 1

Przedmowa 9

1. Preliminaria 13
1.1. Przestrzeń i czasoprzestrzeń w matematyce 13
1.2. Wektory na rozmaitości 15
1.3. Tensory 16
1.4. Przestrzenie Rⁿ i Eⁿ 17
1.4.1. Aﬁniczna przestrzeń euklidesowa En 21
1.5. Odwzorowania przestrzeni Rⁿ 24
1.6. Transformacje współrzędnych 29
1.6.1. Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie 33
1.7. Wymiar przestrzeni 35
1.8. Notacja 37

2. Rozmaitości różniczkowe 39
2.1. Wprowadzenie 39
2.2. Deﬁnicja rozmaitości różniczkowej 41
2.2.1. Rozmaitość 49
2.3. Przykłady rozmaitości gładkich 52
2.4. Rozmaitości gładkie w Rⁿ 59
2.5. Rozmaitości indukowane i iloczynowe 65
2.6. Powierzchnie jednostronne. Wstęga Möbiusa i butelka Kleina 67
2.7. Odwzorowania rozmaitości 73
2.8. Krzywe gładkie 80
2.9. Klasyﬁkacja rozmaitości 84

3. Wektory i tensory 86
3.1. Geometryczny opis wektora 86
3.2. Przestrzeń styczna do Eⁿ 89
3.3. Liniowa transformacja współrzędnych w En i zmiana bazy w T_pEⁿ 91
3.4. Wektor jako operator różniczkowy 93
3.5. Przestrzeń styczna do rozmaitości 95
3.6. Gładkie pola wektorowe 99
3.7. Wektory kowariantne 102
3.8. Pola kowektorów i gradient funkcji 105
3.8.1. Graﬁczne przedstawienie kowektora 109
3.9. Tensory 112
3.10. Składowe i bazy tensorów 114
3.11. Pola tensorowe 116
3.12. Działania na tensorach 121
3.13. Komutator pól wektorowych 123
3.14. Tensor metryczny 127
3.15. Operacje na tensorach za pomocą metryki 136
3.16. Wyznaczniki i symbol Leviego–Civity 139
3.17. Uogólniony symbol Kroneckera 145
3.18. Tensory względne 148
3.19. Rozmaitości dwuwymiarowe 149
3.20. Metryka hiperpowierzchni 151
3.20.1. Sfera Sⁿ 156
3.21. Przestrzenie hiperboliczne 158
3.21.1. Wstęp historyczny 158
3.21.2. Płaszczyzna hiperboliczna jako sfera w przestrzeni Minkowskiego 159
3.21.3. Model Kleina płaszczyzny Łobaczewskiego 160
3.21.4. Model Poincarégo płaszczyzny hiperbolicznej 162
3.21.5. Pseudosfera Beltramiego 163
3.21.6. Przekształcenia modeli 166
3.22. Orientowalność rozmaitości 167

4. Odwzorowania tensorów i pochodna Liego 171
4.1. Odwzorowania styczne funkcji i wektorów 171
4.2. Odwzorowania styczne dla kowektorów 175
4.3. Odwzorowania styczne dla dowolnych 176
4.4. Transformacje czynne i bierne 178
4.5. Symetrie i przeniesienie według Liego 179
4.6. Pochodna Liego 182
4.7. Ogólne własności pochodnej Liego 186
4.8. Pochodna Liego tensorów względnych 190
4.9. Symetrie 194

5. Pochodna absolutna i kowariantna 197
5.1. Pochodna absolutna wektora 198
5.2. Pochodna kowariantna wektora 200
5.3. Transformacje koneksji aﬁnicznej 203
5.4. Pochodna kowariantna i absolutna tensora 205
5.5. Pochodne wyższych rzędów 210
5.6. Pochodne kowariantne tensorów względnych 211
5.7. Przestrzeń z koneksją aﬁniczną 213
5.7.1. Koneksja symetryczna i pochodna Liego 214
5.8. Przeniesienie równoległe 216
5.9. Linie geodezyjne 219
5.9.1. Przekształcenia geodezyjne koneksji aﬁnicznej 224
5.9.2. Interpretacja geometryczna skręcenia koneksji 226
5.10. Odwzorowanie eksponencjalne i współrzędne riemannowskie 228
5.11. Krzywizna przestrzeni 232
5.12. Tensor krzywizny 233
5.13. Interpretacja geometryczna tensora krzywizny 241
5.14. Przestrzenie aﬁnicznie płaskie 243
5.15. Pochodna Liego koneksji i krzywizny 248

6. Różniczkowanie w przestrzeni Riemanna 253
6.1. Koneksja metryczna i symetryczna 253
6.2. Kowariantne operatory różniczkowe 259
6.3. Tożsamości różniczkowe pierwszego rzędu dla metryki 263
6.4. Różniczkowanie tensorów względnych i pochodna Liego 266
6.5. Geodetyki jako linie najkrótsze 267
6.5.1. Form–inwariantność funkcjonału długości 273
6.5.2. Ekstremum warunkowe 276
6.6. Własności metryczne geodetyk 280
6.7. Przykłady linii geodezyjnych 285
6.8. Współrzędne normalne riemannowskie 295
6.9. Współrzędne normalne geodezyjne Gaussa 303

7. Krzywizna i izometrie przestrzeni Riemanna 308
7.1. Tensory Riemanna i Ricciego oraz skalar krzywizny 308
7.2. Przestrzenie metrycznie płaskie 311
7.3. Pola wektorowe kowariantnie stałe 313
7.4. Krzywizna przestrzeni w wymiarach 1, 2 i 3 315
7.5. Krzywizna przestrzeni S², H², T², S³ i H³ 318
7.6. Krzywizna przestrzeni wielowymiarowych. Tensor Weyla 320
7.7. Czasoprzestrzenie czterowymiarowe 324
7.7.1. Przestrzeń de Sittera 324
7.7.2. Przestrzeń anty–de Sittera 329
7.7.3. Czasoprzestrzenie Robertsona–Walkera 331
7.7.4. Płaska fala grawitacyjna 333
7.8. Tensory krzywizny i tensory Weyla dla różnych metryk 336
7.9. Niezmienniki tensora krzywizny 338
7.10. Tożsamości Bianchiego 342
7.10.1. Całkowe tożsamości Bianchiego 344
7.11. Dewiacja geodezyjna 348
7.12. Krzywizna sekcyjna 354
7.13. Krzywizna a metryka 357
7.14. Izometrie i przestrzenie symetryczne 358
7.14.1. Przestrzenie o stałej krzywiźnie 360
7.14.2. Jednorodność i izotropowość 363
7.14.3. Symetria odbiciowa 365
7.15. Wektory Killinga 370
7.15.1. Klasyczna konstrukcja wektora Killinga 372
7.16. Wyznaczenie izometrii z wektorów Killinga 374
7.17. Własności wektorów Killinga 376
7.18. Warunki całkowalności równań Killinga 384
7.19. Wektory Killinga a jednorodność i izotropowość 387
7.20. Przykłady wektorów Killinga 390
7.21. Wektory ortogonalne do hiperpowierzchni 398
7.22. Izometrie przestrzeni zamkniętych 401

Skorowidz 404
Skorowidz nazwisk 410