ebook Matematyka dla inżynierów

Wydawca: Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania: 2024

Matematyka dla inżynierów została napisana dla wszystkich zainteresowanych tym, jak skutecznie stosować metody matematyczne do rozwiązywania zaawansowanych problemów inżynierskich. Książka jest podzielona na siedem odrębnych części, aby zapewnić precyzyjne skupienie się na poszczególnych zagadnieniach. Obejmuje szerokie spektrum tematów, między innymi takie jak: równania różniczkowe, algebra liniowa, analiza wektorowa, analiza Fouriera czy funkcje zespolone. Podręcznik zawiera również liczne przykłady oraz szczegółowe rozwiązania zamieszczonych w książce zadań, które można wykorzystać do sprawdzania postępów, a także do nauki i utrwalania materiału. W książce pojawiają się także krótkie teksty – Matematyka w kontekście – napisane przez inżynierów, które pokazują z ich perspektywy, jak matematyka pojawia się w różnych projektach i zadaniach inżynierskich.

Matematyka dla inżynierów przeznaczona jest dla studentów (w szczególności uczelni technicznych), wykładowców oraz inżynierów, którzy na co dzień mają do czynienia z matematyką w swojej praktyce inżynierskiej.

Spis treści ebooka Matematyka dla inżynierów

Wstęp XIII
Wstęp do wydania SI XVII

CZĘŚĆ 1. Równania różniczkowe zwyczajne 1

Rozdział 1. Równania różniczkowe pierwszego rzędu 3
1.1. Terminologia i równania o zmiennych rozdzielonych 3
1.1.1. Rozwiązania osobliwe 7
1.1.2. Pewne zastosowania równań o zmiennych rozdzielonych 8
Zadania 15
1.2. Równanie liniowe pierwszego rzędu 17
Zadania 21
1.3. Równania zupełne 21
Zadania 26
1.4. Równania jednorodne, Bernoulliego i Riccatiego 27
1.4.1. Równanie różniczkowe jednorodne 27
1.4.2. Równanie Bernoulliego 31
1.4.3. Równanie Riccatiego 32
Zadania 34

Rozdział 2. Równania różniczkowe drugiego rzędu 37
2.1. Równanie liniowe drugiego rzędu 37
Zadania 43
2.2. Równanie jednorodne o stałych współczynnikach 43
Zadania 47
2.3. Szczególne rozwiązania równania niejednorodnego 47
2.3.1. Metoda uzmienniana stałych 48
2.3.2. Metoda przewidywań 50
Zadania 57
2.4. Równanie różniczkowe Eulera 58
Zadania 61
2.5. Rozwiązania w postaci szeregów 62
2.5.1. Rozwiązania w postaci szeregów potęgowych 62
Zadania 65
2.5.2. Rozwiązania Frobeniusa. 65
Zadania 72

Rozdział 3. Transformacja Laplace’a 73
3.1. Definicja i terminologia 73
Zadania 75
3.2. Rozwiązanie zadań wartości początkowej 76
Zadania 80
3.3. Funkcja Heaviside’a i twierdzenia o przesunięciu 80
3.3.1. Pierwsze twierdzenie o przesunięciu 80
3.3.2. Funkcja Heaviside’a, impulsy i drugie twierdzenie o przesunięciu 83
3.3.3. Wzór Heaviside’a 92
Zadania 93
3.4. Splot 95
Zadania 97
3.5. Impulsy i funkcja delta Diraca 98
Zadania 101
3.6. Układy równań różniczkowych liniowych 101
Zadania 103

Rozdział 4. Problemy Sturma-Liouville’a rozwinięcia względem funkcji własnych 105
4.1. Wartości własne, funkcje własne i zagadnienia Sturma-Liouville’a 105
Zadania 111
4.2. Rozwinięcie względem funkcji własnych 111
4.2.1. Własności współczynników 118
Zadania 120
4.3. Szeregi Fouriera 121
4.3.1. Szeregi Fouriera na [-L, L] 121
4.3.2. Szeregi cosinusów Fouriera na [0, L] 125
4.3.3. Szereg sinusów Fouriera na [0, L] 126
Zadania 127

CZĘŚĆ 2. Równania różniczkowe cząstkowe 129

Rozdział 5. Równanie ciepła 131
5.1. Problemy dyfuzji w medium ograniczonym 131
5.1.1. Końce utrzymywane w zerowej temperaturze 132
5.1.2. Izolowane końce 135
5.1.3. Jeden promieniujący koniec 137
5.1.4. Niejednorodne warunki brzegowe 139
5.1.5. Uwzględnienie konwekcji i innych efektów 142
Zadania 145
5.2. Równanie cieplne z elementem wymuszającym F(x,t) 146
Zadania 150
5.3. Równanie ciepła na osi rzeczywistej 150
5.3.1. Przeformułowanie rozwiązania na prostej 152
Zadania 153
5.4. Równanie ciepła na półprostej 154
5.4.1. Kontrowersje dotyczące wieku Ziemi 157
Zadania 159
5.5. Dwuwymiarowe równanie ciepła 159
Zadania 162

Rozdział 6. Równanie falowe 163
6.1. Ruch falowy na ograniczonym przedziale 163
6.1.1. Wpływ c na przemieszczenie 168
6.1.2. Ruch falowy z wymuszeniem F(x) 169
Zadania 172
6.2. Ruch falowy w nieograniczonym ośrodku 173
6.2.1. Równanie falowe na prostej 174
6.2.2. Równanie falowe na półprostej 177
Zadania 179
6.3. Rozwiązania d’Alamberta i charakterystyki 180
Zadania 188
6.4. Równanie falowe z wymuszeniem K(x,t) 189
Zadania 193
6.5. Równanie falowe w wyższych wymiarach 193
Zadania 195

Rozdział 7. Równanie Laplace’a 197
7.1. Zagadnienie Dirichleta dla prostokąta 198
Zadania 201
7.2. Zagadnienie Dirichleta na kole 202
Zadania 205
7.3. Wzór całkowy Poissona 205
Zadania 207
7.4. Zagadnienie Dirichleta w obszarze nieograniczonym 207
Zadania 209
7.5. Trójwymiarowe zagadnienie Dirichleta 209
Zadania 211
7.6. Zagadnienie Neumanna 211
7.6.1. Zagadnienie Neumanna dla prostokąta 213
7.6.2. Zagadnienie Neumanna dla koła 214
7.6.3. Zagadnienie Neumanna dla górnej półpłaszczyzny 216
Zadania 218
7.7. Równanie Poissona 218
Zadania 223

Rozdział 8. Funkcje specjalne i zastosowania 225
8.1. Wielomiany Legendre’a 225
8.1.1. Funkcje tworzące 229
8.1.2. Relacja rekurencji 231
8.1.3. Wzór Rodriguesa 232
8.1.4. Rozwinięcia Fouriera-Legendre’a 232
8.1.5. Zera wielomianów Legendre’a 236
8.1.6. Rozkład naładowanych cząstek 237
8.1.7. Temperatura w stanie ustalonym w kuli 239
Zadania 241
8.2. Funkcje Bessela 242
8.2.1. Funkcja tworząca dla J_n(x) 246
8.2.2. Zależności rekurencyjne 247
8.2.3. Zera J_V(x) 248
8.2.4. Rozwinięcia względem funkcji własnych Fouriera-Bessela 248
Zadania 253
8.3. Niektóre zastosowania funkcji Bessela 254
8.3.1. Drgania membrany kołowej 254
8.3.2. Dyfuzja w nieskończonym jednorodnym walcu 261
8.3.3. Oscylacje w wiszącym sznurze 264
8.3.4. Krytyczna długość pręta 266
Zadania 267

Rozdział 9. Metody przekształceń całkowych 269
9.1. Metody transformaty Laplace’a 269
9.1.1. Wymuszony ruch falowy na półprostej 269
9.1.2. Dystrybucja temperatury w nieograniczonym pręcie 271
9.1.3. Nieograniczony pręt z nieciągłą temperaturą na jednym końcu 272
9.1.4. Drgania pręta sprężystego 274
Zadania 276
9.2. Metody transformaty Fouriera 276
9.2.1. Równanie ciepła na prostej rzeczywistej 279
9.2.2. Zagadnienie Dirichleta dla górnej półpłaszczyzny 280
Zadania 282
9.3. Metody przekształcenia sinusowego i cosinusowego Fouriera 282
9.3.1. Zagadnienie falowe na półprostej 283
Zadania 286

CZĘŚĆ 3. Macierze i Algebra liniowa 287

Rozdział 10. Wektory i przestrzeń wektorowa Rⁿ 289
10.1. Wektory w płaszczyźnie i przestrzeni trójwymiarowej 289
10.1.1. Równanie prostej w przestrzeni trójwymiarowej 294
Zadania 296
10.2. Iloczyn skalarny 296
10.2.1. Równanie płaszczyzny 300
10.2.2. Rzutowanie jednego wektora na drugi 301
Zadania 302
10.3. Iloczyn wektorowy 303
Zadania 306
10.4. Wektory w przestrzeni Rⁿ i struktura algebraiczna Rⁿ 306
Zadania 312
10.5. Zbiory ortogonalne i ortogonalizacja 313
Zadania 316
10.6. Uzupełnienia ortogonalne i rzutowanie 316
Zadania 320

Rozdział 11. Macierze, wyznaczniki, układy liniowe 321
11.1. Wyznaczniki i algebra macierzy 321
11.1.1. Terminologia i macierze specjalne 324
11.1.2. Inne spojrzenie na mnożenie macierzy 326
11.1.3. Zastosowanie do błądzenia losowego w kryształach 328
Zadania 330
11.2. Operacje na wierszach i macierze zredukowane 331
Zadania 338
11.3. Rozwiązywanie jednorodnych układów liniowych 339
Zadania 344
11.4. Rozwiązywanie niejednorodnych układów liniowych 345
Zadania 350
11.5. Macierze odwrotne 351
Zadania 354
11.6. Wyznaczniki 355
11.6.1. Rozwijanie względem wierszy i kolumn 357
Zadania 359
11.7. Reguła Cramera 360
Zadania 362
11.8. Twierdzenie macierzowe o drzewach 362
Zadania 365

Rozdział 12. Wartości własne, diagonalizacja, macierze specjalne 367
12.1. Wartości własne i wektory własne 367
12.1.1. Liniowa niezależność wektorów własnych 371
12.1.2. Okręgi Gerszgorina 374
Zadania 376
12.2. Diagonalizacja 377
Zadania 382
12.3. Macierze specjalne oraz ich wartości własne i wektory własne 382
12.3.1. Macierze symetryczne 383
12.3.2. Macierze ortogonalne 385
12.3.3. Macierze unitarne 387
12.3.4. Macierze hermitowskie i skośno-hermitowskie 388
Zadania 389
12.4. Formy kwadratowe 390
Zadania 392

CZĘŚĆ 4. Układy równań różniczkowych 393

Rozdział 13. Układy równań różniczkowych liniowych 395
13.1. Układy liniowe 395
13.1.1. Struktura rozwiązań równania X’ = AX 397
13.1.2. Struktura rozwiązań równania X’ = AX + G 401
Zadania 402
13.2. Rozwiązanie X’ = AX, gdy A jest stałe 403
13.2.1. Przypadek zespolonych wartości własnych 410
Zadania 412
13.3. Rozwiązanie z użyciem eksponenta macierzy. 413
Zadania 418
13.4. Rozwiązanie X’ = AX + G dla stałej A 418
13.4.1. Uzmiennianie stałych 418
Zadania 422
13.4.2. Rozwiązania przez diagonalizację 422
Zadania 424

Rozdział 14. Systemy nieliniowe i analiza jakościowa 425
14.1. Układy nieliniowe i diagramy/ portery fazowe 425
14.1.1. Portrety fazowe jednorodnych układów liniowych 432
Zadania 441
14.2. Punkty krytyczne i stabilność 441
Zadania 446
14.3. Układy prawie-liniowe 446
Zadania 451
14.4. Linearyzacja 452
Zadania 461

CZĘŚĆ 5. Analiza wektorowa 463

Rozdział 15. Wektorowy rachunek różniczkowy 465
15.1. Funkcje wektorowe jednej zmiennej 465
Zadania 469
15.2. Prędkość, przyspieszenie i krzywizna 470
Zadania. 474
15.3. Gradient pola 474
15.3.1. Poziomice, płaszczyzny styczne i proste normalne 477
Zadania 480
15.4. Dywergencja i rotacja 481
15.4.1. Fizyczna interpretacja dywergencji 482
15.4.2. Fizyczna interpretacja rotacji 484
Zadania. 485
15.5. Opływy pola wektorowego 486
Zadania 488

Rozdział 16. Wektorowy rachunek całkowy 489
16.1. Całki krzywoliniowe 489
16.1.1. Całkowanie względem łuku krzywej 496
Zadania 498
16.2. Twierdzenie Greena 499
16.2.1. Uogólnienie twierdzenia Greena 500
Zadania 504
16.3. Niezależność od drogi i teoria potencjału 505
Zadania 515
16.4. Całki powierzchniowe 515
16.4.1. Wektor normalny do powierzchni 517
16.4.2. Całka powierzchniowa pola skalarnego 521
Zadania 523
16.5. Zastosowania całek powierzchniowych 523
16.5.1. Pole powierzchni 523
16.5.2. Masa i środek masy powłoki 524
16.5.3. Strumień płynu przez powierzchnię 526
Zadania 529
16.6. Twierdzenie Gaussa o dywergencji 529
16.6.1. Prawo Archimedesa 531
16.6.2. Równanie ciepła 532
Zadania 534
16.7. Twierdzenie Stokesa 534
16.7.1. Teoria potencjału w przestrzeni trójwymiarowe 537
Zadania 538

CZĘŚĆ 6. Analiza Fouriera 539

Rozdział 17. Szeregi Fouriera 541
17.1. Szereg Fouriera na [-L, L] 541
17.1.1. Szeregi Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych 548
17.1.2. Zjawisko Gibbsa 550
Zadania 551
17.2. Szeregi sinusowe i cosinusowe 552
Zadania 556
17.3. Całkowanie i różniczkowanie szeregów Fouriera 557
Zadania 561
17.4. Własności współczynników Fouriera 561
17.4.1. Optymalizacja metodą najmniejszych kwadratów 564
Zadania 567
17.5. Postać fazowa 567
Zadania 570
17.6. Zespolony szereg Fouriera 571
Zadania 574
17.7. Filtrowanie sygnałów 574
Zadania 577

Rozdział 18. Transformata Fouriera 579
18.1. Transformata Fouriera 579
18.1.1. Filtrowanie i funkcja delta Diraca 589
18.1.2. Okienkowane przekształcenia Fouriera 591
18.1.3. Twierdzenie Shannona o próbkowaniu 594
18.1.4. Filtry dolnoprzepustowe i pasmowoprzepustowe 595
Zadania 598
18.2. Transformaty cosinusowe i sinusowe Fouriera 599
Zadania 602

CZĘŚĆ 7. Funkcje zespolone 603

Rozdział 19. Liczby zespolone i funkcje zespolone 605
19.1. Geometria i arytmetyka liczb zespolonych 605
19.1.1. Liczby zespolone 605
19.1.2. Płaszczyzna zespolona, moduł, sprzężenia i postać biegunowa 606
19.1.3. Sposób porządkowania liczb zespolonych 608
19.1.4. Nierówności 608
19.1.5. Koła, zbiory otwarte i zbiory domknięte 608
Zadania 611
19.2.. Funkcje zespolone 612
19.2.1. Granice, ciągłość i różniczkowalność 612
19.2.2. Równania Cauchy’ego-Riemanna 615
Zadania 619
19.3. Funkcje wykładnicze i trygonometryczne 620
19.3.1. Funkcja wykładnicza 620
19.3.2. Funkcje cosinus i sinus 622
Zadania 624
19.4. Logarytm zespolony 625
Zadania 626
19.5. Potęgi 626
19.5.1. Pierwiastki n-tego stopnia 626
19.5.2. Potęgi wymierne 628
19.5.3. Potęgi z^w 628
Zadania 629

Rozdział 20. Całkowanie w płaszczyźnie zespolonej 631
20.1. Całka z funkcji zespolonej 631
Zadania 636
20.2. Twierdzenie Cauchy’ego 636
Zadania 639
20.3. Konsekwencje twierdzenia Cauchy’ego 639
20.3.1. Niezależność drogi 639
20.3.2. Twierdzenie o deformacji 640
20.3.3. Wzór całkowy Cauchy’ego 643
20.3.4. Własności funkcji harmonicznych 645
20.3.5. Oszacowanie pochodnych 647
20.3.6. Rozszerzone twierdzenie o deformacji 647
Zadania 649

Rozdział 21. Funkcje w postaci szeregów 651
21.1. Szeregi potęgowe 651
21.1.1. Funkcje pierwotne funkcji różniczkowalnych 658
21.1.2. Zera funkcji 658
Zadania 660
21.2. Rozwinięcie Laurenta 661
Zadania 663

Rozdział 22. Osobliwości i twierdzenie o residuach 665
22.1. Klasyfikacja osobliwości 665
Zadania 669
22.2. Twierdzenie o residuach 669
Zadania 674
22.3. Wyznaczanie całek rzeczywistych 675
22.3.1. Funkcje wymierne 676
22.3.2. Funkcje wymierne pomnożone przez cosinus lub sinus 677
22.3.3. Funkcje wymierne cosinusa i sinusa 679
Zadania 681

Rozdział 23. Odwzorowania konforemne 683
23.1. Idea odwzorowania konforemnego 683
23.1.1. Przekształcenia biliniowe 690
23.1.2. Sfera Riemanna 696
Zadania 697
23.2. Konstrukcja odwzorowań konforemnych 698
23.2.1. Przekształcenie Schwarza-Christoffela 706
Zadania 710

Notacja 711
Odpowiedzi do wybranych zadań 713