ebook Podstawy ekonomii matematycznej Stanisława Kanas

Wydawca: Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania: 2011

Ekonomia matematyczna zajmuje się badaniem zjawisk gospodarczych przy użyciu zaawansowanych technik matematycznych, takich jak analiza szeregów czasowych czy programowanie dynamiczne. Opracowanie zawiera m.in. tematykę niepodejmowaną w innych publikacjach z dziedziny:

uogólnienia wypukłości oraz ich zastosowanie w problematyce ekonomicznej,

pojęcie funkcji dyskretnych,

równania i układy równań różnicowych, coraz szerzej stosowane we wszystkich naukach, w tym naukach ekonomicznych.

W podręczniku, oprócz treści teoretycznych, znajdują się również zadania z przykładowymi rozwiązaniami oraz zadania do samodzielnego rozwiązania.

Podręcznik przydatny dla studentów oraz wykładowców kierunków matematycznych i ekonomicznych. Polecany zwłaszcza dla studentów specjalności: matematyka finansowa i ubezpieczeniowa, matematyka ekonomiczna oraz specjalności zastosowania matematyki.

Spis treści ebooka Podstawy ekonomii matematycznej

Wstęp XI
1. Konstrukcja modelu matematycznego 1
2. Relacje. Teoria preferencji konsumenta 4
2.1. Zbiory. Relacje 4
2.2. Relacja preferencji 7
2.3. Zbior budżetowy 13
2.4. Przykłady dwuargumentowych preferencji 16
2.5. Zadania 19
3. Liczby zespolone 25
3.1. Definicje i podstawowe własności 25
3.2. Postać algebraiczna (kartezjańska) liczby zespolonej 26
3.3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej 28
3.4. Postać wykładnicza liczby zespolonej 32
3.5. Pierwiastkowanie liczb zespolonych 33
3.6. Wielomiany zespolone 36
3.7. Zadania 38
4. Macierze. Wyznaczniki macierzy 42
4.1. Macierze, działania na macierzach 42
4.2. Wyznacznik macierzy kwadratowej 46
4.3. Macierz odwrotna 50
4.3.1. Liniowa niezależność wektorow 51
4.4. Rząd macierzy 52
4.5. Potęga i eksponens macierzy. Metoda Jordana 54
4.5.1. Wartości i wektory własne macierzy 55
4.5.2. Diagonalizacja macierzy 56
4.5.3. Potęgowanie, eksponens macierzy 57
4.6. Zadania 61
5. Układy rownań liniowych 67
5.1. Pojęcia podstawowe 67
5.2. Układ Cramera 68
5.3. Rozwiązanie dowolnego układu liniowego 70
5.4. Metoda badania rzędów macierzy 74
5.5. Układy jednorodne 76
5.6. Zadania 77
6. Modele równowagi rynkowej 83
6.1. Częściowa równowaga rynkowa 84
6.1.1. Liniowy model rynku, przypadek jednego towaru 84
6.1.2. Model nieliniowy, przypadek jednego towaru 86
6.2. Ogólna równowaga rynkowa 86
6.2.1. Model rynku dwóch towarów 87
6.2.2. Model rynku n towarów 87
6.3. Model input-output (nakładów i wyników). Model Leontiefa 88
6.3.1. Równania bilansowe międzygałęziowej produkcji globalnej 89
6.3.2. Równania bilansowe kosztów 91
6.3.3. Współczynniki efektywności procesu gospodarczego 94
6.3.4. Macierz struktury kosztów 95
6.3.5. Model zamknięty 98
6.4. Zastosowania 100
6.4.1. Wyznaczenie poziomu produkcji. Opłacalność produkcji. Nakład pierwotny 100
6.4.2. Wyznaczenie produktu końcowego 100
6.4.3. Wzrost produktu końcowego 101
6.4.4. Wzrost poziomu produkcji 101
6.4.5. Określenie wielkości nakładów pracy 102
6.4.6. Analiza nakładów i wyników w przedsiębiorstwie 103
6.4.7. Określenie poziomu produkcji firmy 104
6.4.8. Zapotrzebowanie produkcyjne na materiały i energię 105
6.4.9. Plan wykorzystania maszyn i urządzeń 106
6.4.10. Określenie zatrudnienia 106
6.5. Zadania 107
7. Funkcje jednej zmiennej 113
7.1. Granica funkcji jednej zmiennej 113
7.1.1. Asymptoty funkcji 117
7.1.2. Ciągłość funkcji 119
7.1.3. Pochodna funkcji 122
7.2. Zastosowania pochodnych. Reguła de l’Hospitala 126
7.3. Monotoniczność, ekstrema lokalne i globalne funkcji 127
7.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty przegięcia. Badanie przebiegu funkcji 131
7.5. Ekonomiczne charakterystyki funkcji jednej zmiennej 134
7.5.1. Wielkości przeciętne, krańcowe funkcji 134
7.5.2. Wartość jednostkowa funkcji 136
7.5.3. Elastyczność funkcji 138
7.5.4. Tempo wzrostu funkcji 141
7.6. Zadania 142
8. Rachunek całkowy 148
8.1. Całka nieoznaczona 148
8.1.1. Całki nieoznaczone podstawowych funkcji elementarnych 149
8.1.2. Metoda całkowania przez części i przez podstawienie 150
8.1.3. Całki funkcji wymiernych 151
8.1.4. Całki funkcji trygonometrycznych 155
8.1.5. Całki wybranych funkcji niewymiernych 157
8.2. Całka oznaczona 158
8.3. Całka niewłaściwa 161
8.4. Zastosowania w ekonomii 163
8.5. Zadania 169
9. Funkcje wielu zmiennych 174
9.1. Pojęcia wstępne 174
9.2. Granica funkcji w punkcie 176
9.2.1. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 177
9.2.2. Gradient. Pochodna kierunkowa 179
9.2.3. Różniczka funkcji 181
9.2.4. Ekstrema lokalne funkcji 182
9.2.5. Ekstremum warunkowe funkcji 185
9.2.6. Ekstremum globalne funkcji wielu zmiennych 186
9.3. Funkcje uwikłane 187
9.4. Ekonomiczne charakterystyki funkcji wielu zmiennych 189
9.4.1. Prosty model wymiany. Prostokąt Edgewortha 194
9.5. Zadania 197
10. Funkcje wypukłe, wklęsłe, quasi-wypukłe i quasi-wklęsłe 202
10.1. Funkcje wypukłe i funkcje wklęsłe 202
10.2. Funkcje quasi-wypukłe oraz quasi-wklęsłe 209
10.3. Zadania 216
11. Funkcje dyskretne 219
11.1. Pojęcia podstawowe 219
11.2. Rachunek różnicowy 219
11.3. Operator antyróżnicowy 223
11.4. Ekonomiczne charakterystyki funkcji dyskretnych 228
11.5. Zadania 230
12. Zagadnienia optymalizacji wypukłej 232
12.1. Wiadomości wstępne 232
12.1.1. Sformułowanie zagadnienia 233
12.1.2. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej 235
12.1.3. Optymalizacja funkcji wielu zmiennych 236
12.2. Metoda nieokreślonych mnożników Lagrange’a 238
12.2.1. Program nieliniowy w postaci standardowej 245
12.3. Warunki i twierdzenie Karusha--Kuhna--Tuckera 245
12.4. Zastosowania 251
12.4.1. Prosty model wymiany, prostokąt (skrzynka) Edgewortha 251
12.4.2.Model Arrowa--Hurwicza 253
12.4.3.Model Arrowa--Debreu--McKenziego 257
12.5. Zadania 264
13. Funkcja użyteczności, popytu, podaży i kosztu 268
13.1. Funkcja użyteczności 268
13.1.1. Przykłady funkcji użyteczności 268
13.1.2. Podstawowe własności funkcji użyteczności 271
13.1.3. Charakterystyki funkcji użyteczności 272
13.2. Maksymalizacja użyteczności konsumpcji (MUK) 276
13.3. Funkcja popytu konsumenta 279
13.3.1. Charakterystyki funkcji popytu 280
13.4. Funkcja kosztu 284
13.5. Zadania 285
14. Funkcja produkcji 291
14.1. Skalarna funkcja produkcji 291
14.1.1. Standardowe założenia o skalarnej funkcji produkcji (postulaty funkcji produkcji) 292
14.1.2. Przykłady funkcji produkcji 293
14.2. Funkcja produkcji CES 294
14.3. Szczególne przypadki funkcji CES 300
14.3.1. Dwuargumentowa liniowa funkcja produkcji 300
14.3.2. Dwuargumentowa funkcja produkcji Cobba--Douglasa 302
14.3.3. Dwuargumentowa funkcja produkcji Koopmansa--Leontiefa 303
14.4. Inne funkcje produkcji 305
14.5. Długookresowa strategia przedsiębiorstwa (DSR) 306
14.5.1.Maksymalizacja zysku (MZ) 307
14.5.2.Minimalizacja kosztów (MK) 309
14.5.3. Optymalizacja wielkości produkcji (OP) 310
14.6. Krótkookresowa strategia przedsiębiorstwa (KSR) 312
14.7. Zadania 314
15. Równania różniczkowe 320
15.1. Równania różniczkowe rzędu pierwszego 321
15.1.1.Metoda uzmienniania stałej 324
15.1.2.Metoda przewidywań 325
15.1.3. Równanie Bernoulliego 326
15.2. Równania różniczkowe rzędu drugiego 327
15.2.1. Równania liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach 330
15.3. Równanie różniczkowe k-go rzędu o stałych współczynnikach 331
15.4. Stabilność równań różniczkowych. Linearyzacja 336
15.5. Zastosowania równań różniczkowych 342
15.5.1. Procenty składane 342
15.5.2.Model wzrostu Domara 342
15.5.3.Model Solowa 345
15.5.4. Rozwoj populacji. Model Malthusa 348
15.5.5.Model Verhulsta (logistyczny). Rozwój populacji z uwzględnieniem pojemności środowiska 349
15.5.6.Model Gompertza 351
15.5.7.Model Ludwiga rozwoju populacji 352
15.5.8. Badanie przyczyny rozwodów 353
15.5.9. Prosty model rynku 353
15.5.10. Model rynku z określoną tendencją zmiany cen 354
15.5.11. Zależności między bezrobociem i inflacją, model Phillipsa 356
15.6. Zadania 358
16. Równania różnicowe 365
16.1. Równania różnicowe. Podstawy 365
16.1.1. Liniowe równanie różnicowe rzędu pierwszego 369
16.1.2. Liniowe równanie rzędu k-go o stałych współczynnikach 371
16.1.3.Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego o stałych współczynnikach. Metoda uzmienniania stałych 374
16.1.4.Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego o stałych współczynnikach. Metoda przewidywań 376
16.2. Transformata Z 378
16.3. Stabilność i linearyzacja nieliniowych równań różnicowych 381
16.4. Zastosowania równań różnicowych 383
16.4.1.Przyrost populacji w ujęciu dyskretnym. Model Malthusa 383
16.4.2.Dyskretny model Verhulsta 384
16.4.3.Model Fibonacciego 385
16.4.4.Model pajęczynowy 386
16.4.5.Rynek z określoną tendencją zmiany cen 388
16.4.6.Model dochodu narodowego Samuelsona (model mnożnika i akceleratora) 389
16.4.7.Model przepustowości. Teoria kolejek 390
16.5. Zadania 393
17. Układy równań różniczkowych zwyczajnych 397
17.1. Układy równań różniczkowych. Wiadomości wstępne 397
17.1.1.Metoda eliminacji 397
17.2. Układy równań różniczkowych liniowych 399
17.2.1.Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego 402
17.2.2.Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. Metoda Eulera 406
17.3. Stabilność i asymptotyczna stabilność układów równań różniczkowych 411
17.4. Linearyzacja nieliniowych układów równań różniczkowych 414
17.5. Zastosowania układów równań różniczkowych 417
17.5.1.Ciągły model Leontiefa nakładów i wyników w procesie produkcji 417
17.5.2.Model nakładów i wyników obejmujący akumulację zapasów 418
17.5.3.Model Arrowa--Hurwicza 419
17.5.4.Model Arrowa--Debreu--McKenziego 420
17.5.5.Model inflacji i polityki monetarnej Obsta 422
17.5.6.Model Lotki--Volterry (model konkurencji) 422
17.5.7.Uogolniony model Lotki--Volterry 424
17.5.8.Model epidemii Kermacka--McKendricka 425
17.5.9.Model „Romeo i Julia” 427
17.5.10. Układy o jednym (wielu) wejściu i wyjściu 428
17.6. Zadania 428
18. Układy równań różnicowych 434
18.1. Układy równań różnicowych. Wiadomości wstępne 434
18.1.1.Metoda eliminacji 434
18.1.2.Układy równań różnicowych liniowych 436
18.1.3.Metoda uzmienniania stałych wyznaczania rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego 439
18.2. Układy równań różnicowych liniowych o stałych współczynnikach 440
18.3. Stabilność rozwiązania układu równań różnicowych 444
18.4. Zastosowania układów równań różnicowych 446
18.4.1.Model rynku 446
18.4.2.Dyskretny model Arrowa--Hurwicza 446
18.4.3.Dyskretny model Leontiefa 447
18.4.4.Model nakładów i wyników obejmujący akumulację zapasów 448
18.4.5.Dyskretny model oddziałujących populacji 448
18.4.6.Układy o jednym (wielu) wejściu i wyjściu 452
18.5. Zadania 453
Bibliografia 457
Wykaz symboli 459
Skorowidz 461