ebook Witt morphisms Przemysław Koprowski

Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego

Rok wydania: 2012

Rozprawa Witt morphisms omawia właściwości funktora Witta na kategorii pierścieni przemiennych z jedynką. Książka składa się z pięciu rozdziałów, z których pierwszy ma charakter wprowadzający do tematyki funktora Witta. W rozdziale tym są zdefiniowane kluczowe pojęcia niezbędne do zrozumienia dalszych części pracy i przywołane standardowe wyniki używane w kolejnych rozdziałach. Główną część pracy stanowią rozdziały 2–5. Rozdział drugi omawia problematykę zachowania funktora Witta na rozszerzeniach unitarnych (a w szczególności na kwadratowych rozszerzeniach unitarnych) pierścieni lokalnych. Rozdział ten zawiera między innymi uogólnienie techniki transferowej Scharlau'a na przypadek rozszerzeń niewolnych. W rozdziale trzecim wykorzystano wyniki rozdziału poprzedniego do badania zachowania funktora Witta normalizacji dziedzin wymiaru jeden. W rozdziale tym w szczególności poruszana jest kwestia (nie)injektywności funktora Witta normalizacji. Rozdział czwarty poświęcony jest tematyce rozszczepialności ciągu dokładnego Knebuscha-Milnora dla pierścieni geometrycznych. Ostatni, piąty, rozdział rozprawy dotyczy równoważności Witta rzeczywistych ciał i pierścieni, czyli istnienia izomorfizmu między pierścieniami Witta dwóch struktur algebraicznych.

Praca jest adresowana do pracowników naukowych i słuchaczy studiów doktoranckich zajmujących się algebrą przemienną, algebraiczną teorią form kwadratowych/dwuliniowych i K-teorią.

The book "Witt morphisms" deals with the subject of the properties of the Witt functor on the category of commutative rings with unity. The book consists of five chapters. The first one has a preliminary character. It introduces the terminology and classical results necessary to understand successive chapters. The main material of the book is contained in chapters 2-5. The second chapter discusses the behaviour of the Witt functor on unitary extensions (in particular quadratic unitary extensions) of local rings. Among other topics, this chapter contains a generalization of the Scharlau's transfer technique for non-free extensions. The subject of the third chapter is a behaviour of the Witt functor of ring normalization. One of the main topics is the non-injectivity of the Witt functor of ring normalization. The fourth chapter deals with the problem of splitting the Knebusch-Milnor exact sequence for geometric rings. The last, fifth chapter treats the theory of Witt equivalence of formally real rings and fields.

The book is addressed to scientists and graduate-students working in the fields of commutative algebra, algebraic theory of quadratic/bilinear forms and K-theory.

Spis treści ebooka Witt morphisms

Contents

Foreword / 7

1. Preliminaries / 11
1.1. Witt functor / 11
1.2. Orderings and valuations / 15
1.3. Knebusch-Milnor exact sequence / 20
1.4. Introduction to real curves / 23

2. Local quadratic extensions / 29
2.1. Transfer maps / 32
2.2. Scharlau’s norm principle / 37
Appendix: Unitary extensions of arbitrary degree / 39

3. Injectivity of Witt functor of ring normalization / 45
3.1. Preparatory lemmas / 45
3.2. Locally unitary quadratic extensions / 49
3.3. Relations to the Picard functor / 53
Appendix: Curve desingularization / 56

4. Splitting the Knebusch-Milnor exact sequence / 61
4.1. Preparatory lemmas / 61
4.2. Direct sum theorem / 63
4.3. Splitting theorem / 68
4.4. Further splitting / 69

5. Witt equivalence of real rings / 73
5.1. Witt equivalence of real fields / 73
5.2. Witt equivalence of real holomorphy rings / 75
Appendix: Quaternion-symbol equivalence of geometric rings / 80

Bibliography / 85
Commonly used symbols / 89
Index / 91

Streszczenie / 95
Zussammenfassung / 95