Matematyka dla inżynierów

Matematyka dla inżynierów została napisana dla wszystkich zainteresowanych tym, jak skutecznie stosować metody matematyczne do rozwiązywania zaawansowanych problemów inżynierskich. Książka jest podzielona na siedem odrębnych części, aby zapewnić precyzyjne skupienie się na poszczególnych zagadnieniach. Obejmuje szerokie spektrum tematów, między innymi takie jak: równania różniczkowe, algebra liniowa, analiza wektorowa, analiza Fouriera czy funkcje zespolone. Podręcznik zawiera również liczne przykłady oraz szczegółowe rozwiązania zamieszczonych w książce zadań, które można wykorzystać do sprawdzania postępów, a także do nauki i utrwalania materiału. W książce pojawiają się także krótkie teksty – Matematyka w kontekście – napisane przez inżynierów, które pokazują z ich perspektywy, jak matematyka pojawia się w różnych projektach i zadaniach inżynierskich. Matematyka dla inżynierów przeznaczona jest dla studentów (w szczególności uczelni technicznych), wykładowców oraz inżynierów, którzy na co dzień mają do czynienia z matematyką w swojej praktyce inżynierskiej.

Wstęp XIII Wstęp do wydania SI XVII CZĘŚĆ 1. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozdział 1. Równania różniczkowe pierwszego rzędu 3 1.1. Terminologia i równania o zmiennych rozdzielonych 3 1.1.1. Rozwiązania osobliwe 7 1.1.2. Pewne zastosowania równań o zmiennych rozdzielonych 8 Zadania 15 1.2. Równanie liniowe pierwszego rzędu 17 Zadania 21 1.3. Równania zupełne 21 Zadania 26 1.4. Równania jednorodne, Bernoulliego i Riccatiego 27 1.4.1. Równanie różniczkowe jednorodne 27 1.4.2. Równanie Bernoulliego 31 1.4.3. Równanie Riccatiego 32 Zadania 34 Rozdział 2. Równania różniczkowe drugiego rzędu 37 2.1. Równanie liniowe drugiego rzędu 37 Zadania 43 2.2. Równanie jednorodne o stałych współczynnikach 43 Zadania 47 2.3. Szczególne rozwiązania równania niejednorodnego 47 2.3.1. Metoda uzmienniana stałych 48 2.3.2. Metoda przewidywań 50 Zadania 57 2.4. Równanie różniczkowe Eulera 58 Zadania 61 2.5. Rozwiązania w postaci szeregów 62 2.5.1. Rozwiązania w postaci szeregów potęgowych 62 Zadania 65 2.5.2. Rozwiązania Frobeniusa. 65 Zadania 72 Rozdział 3. Transformacja Laplace’a 73 3.1. Definicja i terminologia 73 Zadania 75 3.2. Rozwiązanie zadań wartości początkowej 76 Zadania 80 3.3. Funkcja Heaviside’a i twierdzenia o przesunięciu 80 3.3.1. Pierwsze twierdzenie o przesunięciu 80 3.3.2. Funkcja Heaviside’a, impulsy i drugie twierdzenie o przesunięciu 83 3.3.3. Wzór Heaviside’a 92 Zadania 93 3.4. Splot 95 Zadania 97 3.5. Impulsy i funkcja delta Diraca 98 Zadania 101 3.6. Układy równań różniczkowych liniowych 101 Zadania 103 Rozdział 4. Problemy Sturma-Liouville’a rozwinięcia względem funkcji własnych 105 4.1. Wartości własne, funkcje własne i zagadnienia Sturma-Liouville’a 105 Zadania 111 4.2. Rozwinięcie względem funkcji własnych 111 4.2.1. Własności współczynników 118 Zadania 120 4.3. Szeregi Fouriera 121 4.3.1. Szeregi Fouriera na [-L, L] 121 4.3.2. Szeregi cosinusów Fouriera na [0, L] 125 4.3.3. Szereg sinusów Fouriera na [0, L] 126 Zadania 127 CZĘŚĆ 2. Równania różniczkowe cząstkowe 129 Rozdział 5. Równanie ciepła 131 5.1. Problemy dyfuzji w medium ograniczonym 131 5.1.1. Końce utrzymywane w zerowej temperaturze 132 5.1.2. Izolowane końce 135 5.1.3. Jeden promieniujący koniec 137 5.1.4. Niejednorodne warunki brzegowe 139 5.1.5. Uwzględnienie konwekcji i innych efektów 142 Zadania 145 5.2. Równanie cieplne z elementem wymuszającym F(x,t) 146 Zadania 150 5.3. Równanie ciepła na osi rzeczywistej 150 5.3.1. Przeformułowanie rozwiązania na prostej 152 Zadania 153 5.4. Równanie ciepła na półprostej 154 5.4.1. Kontrowersje dotyczące wieku Ziemi 157 Zadania 159 5.5. Dwuwymiarowe równanie ciepła 159 Zadania 162 Rozdział 6. Równanie falowe 163 6.1. Ruch falowy na ograniczonym przedziale 163 6.1.1. Wpływ c na przemieszczenie 168 6.1.2. Ruch falowy z wymuszeniem F(x) 169 Zadania 172 6.2. Ruch falowy w nieograniczonym ośrodku 173 6.2.1. Równanie falowe na prostej 174 6.2.2. Równanie falowe na półprostej 177 Zadania 179 6.3. Rozwiązania d’Alamberta i charakterystyki 180 Zadania 188 6.4. Równanie falowe z wymuszeniem K(x,t) 189 Zadania 193 6.5. Równanie falowe w wyższych wymiarach 193 Zadania 195 Rozdział 7. Równanie Laplace’a 197 7.1. Zagadnienie Dirichleta dla prostokąta 198 Zadania 201 7.2. Zagadnienie Dirichleta na kole 202 Zadania 205 7.3. Wzór całkowy Poissona 205 Zadania 207 7.4. Zagadnienie Dirichleta w obszarze nieograniczonym 207 Zadania 209 7.5. Trójwymiarowe zagadnienie Dirichleta 209 Zadania 211 7.6. Zagadnienie Neumanna 211 7.6.1. Zagadnienie Neumanna dla prostokąta 213 7.6.2. Zagadnienie Neumanna dla koła 214 7.6.3. Zagadnienie Neumanna dla górnej półpłaszczyzny 216 Zadania 218 7.7. Równanie Poissona 218 Zadania 223 Rozdział 8. Funkcje specjalne i zastosowania 225 8.1. Wielomiany Legendre’a 225 8.1.1. Funkcje tworzące 229 8.1.2. Relacja rekurencji 231 8.1.3. Wzór Rodriguesa 232 8.1.4. Rozwinięcia Fouriera-Legendre’a 232 8.1.5. Zera wielomianów Legendre’a 236 8.1.6. Rozkład naładowanych cząstek 237 8.1.7. Temperatura w stanie ustalonym w kuli 239 Zadania 241 8.2. Funkcje Bessela 242 8.2.1. Funkcja tworząca dla J_n(x) 246 8.2.2. Zależności rekurencyjne 247 8.2.3. Zera J_V(x) 248 8.2.4. Rozwinięcia względem funkcji własnych Fouriera-Bessela 248 Zadania 253 8.3. Niektóre zastosowania funkcji Bessela 254 8.3.1. Drgania membrany kołowej 254 8.3.2. Dyfuzja w nieskończonym jednorodnym walcu 261 8.3.3. Oscylacje w wiszącym sznurze 264 8.3.4. Krytyczna długość pręta 266 Zadania 267 Rozdział 9. Metody przekształceń całkowych 269 9.1. Metody transformaty Laplace’a 269 9.1.1. Wymuszony ruch falowy na półprostej 269 9.1.2. Dystrybucja temperatury w nieograniczonym pręcie 271 9.1.3. Nieograniczony pręt z nieciągłą temperaturą na jednym końcu 272 9.1.4. Drgania pręta sprężystego 274 Zadania 276 9.2. Metody transformaty Fouriera 276 9.2.1. Równanie ciepła na prostej rzeczywistej 279 9.2.2. Zagadnienie Dirichleta dla górnej półpłaszczyzny 280 Zadania 282 9.3. Metody przekształcenia sinusowego i cosinusowego Fouriera 282 9.3.1. Zagadnienie falowe na półprostej 283 Zadania 286 CZĘŚĆ 3. Macierze i Algebra liniowa 287 Rozdział 10. Wektory i przestrzeń wektorowa Rⁿ 289 10.1. Wektory w płaszczyźnie i przestrzeni trójwymiarowej 289 10.1.1. Równanie prostej w przestrzeni trójwymiarowej 294 Zadania 296 10.2. Iloczyn skalarny 296 10.2.1. Równanie płaszczyzny 300 10.2.2. Rzutowanie jednego wektora na drugi 301 Zadania 302 10.3. Iloczyn wektorowy 303 Zadania 306 10.4. Wektory w przestrzeni Rⁿ i struktura algebraiczna Rⁿ 306 Zadania 312 10.5. Zbiory ortogonalne i ortogonalizacja 313 Zadania 316 10.6. Uzupełnienia ortogonalne i rzutowanie 316 Zadania 320 Rozdział 11. Macierze, wyznaczniki, układy liniowe 321 11.1. Wyznaczniki i algebra macierzy 321 11.1.1. Terminologia i macierze specjalne 324 11.1.2. Inne spojrzenie na mnożenie macierzy 326 11.1.3. Zastosowanie do błądzenia losowego w kryształach 328 Zadania 330 11.2. Operacje na wierszach i macierze zredukowane 331 Zadania 338 11.3. Rozwiązywanie jednorodnych układów liniowych 339 Zadania 344 11.4. Rozwiązywanie niejednorodnych układów liniowych 345 Zadania 350 11.5. Macierze odwrotne 351 Zadania 354 11.6. Wyznaczniki 355 11.6.1. Rozwijanie względem wierszy i kolumn 357 Zadania 359 11.7. Reguła Cramera 360 Zadania 362 11.8. Twierdzenie macierzowe o drzewach 362 Zadania 365 Rozdział 12. Wartości własne, diagonalizacja, macierze specjalne 367 12.1. Wartości własne i wektory własne 367 12.1.1. Liniowa niezależność wektorów własnych 371 12.1.2. Okręgi Gerszgorina 374 Zadania 376 12.2. Diagonalizacja 377 Zadania 382 12.3. Macierze specjalne oraz ich wartości własne i wektory własne 382 12.3.1. Macierze symetryczne 383 12.3.2. Macierze ortogonalne 385 12.3.3. Macierze unitarne 387 12.3.4. Macierze hermitowskie i skośno-hermitowskie 388 Zadania 389 12.4. Formy kwadratowe 390 Zadania 392 CZĘŚĆ 4. Układy równań różniczkowych 393 Rozdział 13. Układy równań różniczkowych liniowych 395 13.1. Układy liniowe 395 13.1.1. Struktura rozwiązań równania X’ = AX 397 13.1.2. Struktura rozwiązań równania X’ = AX + G 401 Zadania 402 13.2. Rozwiązanie X’ = AX, gdy A jest stałe 403 13.2.1. Przypadek zespolonych wartości własnych 410 Zadania 412 13.3. Rozwiązanie z użyciem eksponenta macierzy. 413 Zadania 418 13.4. Rozwiązanie X’ = AX + G dla stałej A 418 13.4.1. Uzmiennianie stałych 418 Zadania 422 13.4.2. Rozwiązania przez diagonalizację 422 Zadania 424 Rozdział 14. Systemy nieliniowe i analiza jakościowa 425 14.1. Układy nieliniowe i diagramy/ portery fazowe 425 14.1.1. Portrety fazowe jednorodnych układów liniowych 432 Zadania 441 14.2. Punkty krytyczne i stabilność 441 Zadania 446 14.3. Układy prawie-liniowe 446 Zadania 451 14.4. Linearyzacja 452 Zadania 461 CZĘŚĆ 5. Analiza wektorowa 463 Rozdział 15. Wektorowy rachunek różniczkowy 465 15.1. Funkcje wektorowe jednej zmiennej 465 Zadania 469 15.2. Prędkość, przyspieszenie i krzywizna 470 Zadania. 474 15.3. Gradient pola 474 15.3.1. Poziomice, płaszczyzny styczne i proste normalne 477 Zadania 480 15.4. Dywergencja i rotacja 481 15.4.1. Fizyczna interpretacja dywergencji 482 15.4.2. Fizyczna interpretacja rotacji 484 Zadania. 485 15.5. Opływy pola wektorowego 486 Zadania 488 Rozdział 16. Wektorowy rachunek całkowy 489 16.1. Całki krzywoliniowe 489 16.1.1. Całkowanie względem łuku krzywej 496 Zadania 498 16.2. Twierdzenie Greena 499 16.2.1. Uogólnienie twierdzenia Greena 500 Zadania 504 16.3. Niezależność od drogi i teoria potencjału 505 Zadania 515 16.4. Całki powierzchniowe 515 16.4.1. Wektor normalny do powierzchni 517 16.4.2. Całka powierzchniowa pola skalarnego 521 Zadania 523 16.5. Zastosowania całek powierzchniowych 523 16.5.1. Pole powierzchni 523 16.5.2. Masa i środek masy powłoki 524 16.5.3. Strumień płynu przez powierzchnię 526 Zadania 529 16.6. Twierdzenie Gaussa o dywergencji 529 16.6.1. Prawo Archimedesa 531 16.6.2. Równanie ciepła 532 Zadania 534 16.7. Twierdzenie Stokesa 534 16.7.1. Teoria potencjału w przestrzeni trójwymiarowe 537 Zadania 538 CZĘŚĆ 6. Analiza Fouriera 539 Rozdział 17. Szeregi Fouriera 541 17.1. Szereg Fouriera na [-L, L] 541 17.1.1. Szeregi Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych 548 17.1.2. Zjawisko Gibbsa 550 Zadania 551 17.2. Szeregi sinusowe i cosinusowe 552 Zadania 556 17.3. Całkowanie i różniczkowanie szeregów Fouriera 557 Zadania 561 17.4. Własności współczynników Fouriera 561 17.4.1. Optymalizacja metodą najmniejszych kwadratów 564 Zadania 567 17.5. Postać fazowa 567 Zadania 570 17.6. Zespolony szereg Fouriera 571 Zadania 574 17.7. Filtrowanie sygnałów 574 Zadania 577 Rozdział 18. Transformata Fouriera 579 18.1. Transformata Fouriera 579 18.1.1. Filtrowanie i funkcja delta Diraca 589 18.1.2. Okienkowane przekształcenia Fouriera 591 18.1.3. Twierdzenie Shannona o próbkowaniu 594 18.1.4. Filtry dolnoprzepustowe i pasmowoprzepustowe 595 Zadania 598 18.2. Transformaty cosinusowe i sinusowe Fouriera 599 Zadania 602 CZĘŚĆ 7. Funkcje zespolone 603 Rozdział 19. Liczby zespolone i funkcje zespolone 605 19.1. Geometria i arytmetyka liczb zespolonych 605 19.1.1. Liczby zespolone 605 19.1.2. Płaszczyzna zespolona, moduł, sprzężenia i postać biegunowa 606 19.1.3. Sposób porządkowania liczb zespolonych 608 19.1.4. Nierówności 608 19.1.5. Koła, zbiory otwarte i zbiory domknięte 608 Zadania 611 19.2.. Funkcje zespolone 612 19.2.1. Granice, ciągłość i różniczkowalność 612 19.2.2. Równania Cauchy’ego-Riemanna 615 Zadania 619 19.3. Funkcje wykładnicze i trygonometryczne 620 19.3.1. Funkcja wykładnicza 620 19.3.2. Funkcje cosinus i sinus 622 Zadania 624 19.4. Logarytm zespolony 625 Zadania 626 19.5. Potęgi 626 19.5.1. Pierwiastki n-tego stopnia 626 19.5.2. Potęgi wymierne 628 19.5.3. Potęgi z^w 628 Zadania 629 Rozdział 20. Całkowanie w płaszczyźnie zespolonej 631 20.1. Całka z funkcji zespolonej 631 Zadania 636 20.2. Twierdzenie Cauchy’ego 636 Zadania 639 20.3. Konsekwencje twierdzenia Cauchy’ego 639 20.3.1. Niezależność drogi 639 20.3.2. Twierdzenie o deformacji 640 20.3.3. Wzór całkowy Cauchy’ego 643 20.3.4. Własności funkcji harmonicznych 645 20.3.5. Oszacowanie pochodnych 647 20.3.6. Rozszerzone twierdzenie o deformacji 647 Zadania 649 Rozdział 21. Funkcje w postaci szeregów 651 21.1. Szeregi potęgowe 651 21.1.1. Funkcje pierwotne funkcji różniczkowalnych 658 21.1.2. Zera funkcji 658 Zadania 660 21.2. Rozwinięcie Laurenta 661 Zadania 663 Rozdział 22. Osobliwości i twierdzenie o residuach 665 22.1. Klasyfikacja osobliwości 665 Zadania 669 22.2. Twierdzenie o residuach 669 Zadania 674 22.3. Wyznaczanie całek rzeczywistych 675 22.3.1. Funkcje wymierne 676 22.3.2. Funkcje wymierne pomnożone przez cosinus lub sinus 677 22.3.3. Funkcje wymierne cosinusa i sinusa 679 Zadania 681 Rozdział 23. Odwzorowania konforemne 683 23.1. Idea odwzorowania konforemnego 683 23.1.1. Przekształcenia biliniowe 690 23.1.2. Sfera Riemanna 696 Zadania 697 23.2. Konstrukcja odwzorowań konforemnych 698 23.2.1. Przekształcenie Schwarza-Christoffela 706 Zadania 710 Notacja 711 Odpowiedzi do wybranych zadań 713