Piękna matematyka to fascynująca opowieść o tym, jak zaskakująco proste pomysły stały się fundamentem potęgi dzisiejszych komputerów, internetu i sztucznej inteligencji. To unikalne kompendium wiedzy na temat teoretycznych fundamentów ery informacyjnej, podróż od alfabetu Morse’a, przez rewolucję analogową, aż po chatboty AI. Chris Bernhardt sięga do „jądra” rewolucji cyfrowej – do pięknych i genialnych matematycznych idei, które umożliwiły przejście od systemów analogowych do cyfrowych. Posługując się przystępnymi przykładami i historycznymi anegdotami, prowadzi czytelnika przez świat bitów, algorytmów i kryptografii, który objaśnia w sposób niezwykle przejrzysty. Pokazuje, jak piękna i logiczna struktura łączy pozornie niepowiązane dziedziny naszej cyfrowej rzeczywistości. To pozycja, która „odczarowuje” matematykę i pokazuje jej bezpośredni wpływ na każdy aspekt nowoczesnego życia. Autor w sposób niezwykle klarowny i przystępny tłumaczy m.in. takie skomplikowane pojęcia jak: • Teoria informacji i entropia: Czym jest informacja i jak udało się ją obiektywnie zmierzyć? • Kompresja i korekcja błędów: Jak to możliwe, że przesyłamy ogromne ilości danych bez strat, nawet przy dużych zakłóceniach (twierdzenie Shannona)? • Kryptografia: Na czym polega bezpieczeństwo w sieci (szyfrowanie RSA, podpisy cyfrowe)? • Fundamenty obliczeń: Od logiki Boole'a i przekaźników, przez maszynę Turinga, aż po współczesne procesory. • Sztuczna inteligencja: Przystępne wprowadzenie do uczenia maszynowego i sieci neuronowych.

Podziękowania IX Wstęp XI 1. Rewolucje cyfrowe 1 1.1. System analogowy versus system cyfrowy 2 1.2. Pismo i alfabety 4 1.3. Telegraf 7 1.4. Rewolucja analogowa 14 1.5. Dalsza przyszłość 15 2. Informacja 17 2.1. Bell Labs 18 2.2. Teoria matematyczna 20 2.3. Bit informacji kontra cyfra binarna 21 2.4. Matematyczna definicja liczby bitów informacji 23 2.5. Entropia – średnia informacja na symbol 26 2.6. Język angielski 28 2.7. Optymalizacja entropii 29 3. Informacja, redundancja i kompresja 33 3.1. Potrzeba kompresji 34 3.2. Przykład z monetą 36 3.3. Kompresja: wysyłanie bloków YN do bloków 01 38 3.4. Kodowanie 40 3.5. Kody natychmiastowe 41 3.6. Kodowanie Huffmana 43 3.7. Pierwsze twierdzenie Shannona 49 3.8. Redundancja 55 4. Korekcja błędów i szum 57 4.1. Wykrywanie błędów 60 4.2. Kody Hamminga 62 4.3. Odległość Hamminga 66 4.4. Steganografia 67 4.5. Binarny kanał symetryczny 69 4.6. Entropia szumu 70 4.7. Twierdzenie Shannona o kanale zaszumionym 71 4.8. Przykład ilustrujący twierdzenie o kanale zaszumionym 73 4.9. Szkic dowodu 75 4.10. Dlaczego twierdzenie Shannona o kanale zaszumionym jest ważne? 77 5. Szyfrowanie 81 5.1. Szyfr podstawieniowy 82 5.2. Szyfr permutacyjny 83 5.3. Szyfrowanie kluczem symetrycznym 84 5.4. Zaawansowany standard szyfrowania (AES) 85 5.5. Arytmetyka modularna 88 5.6. Klasyczne twierdzenia z teorii liczb 89 5.7. RSA: Początkowe konfiguracje 91 5.8. Wysyłanie wiadomości przy użyciu RSA 92 5.9. Prosty przykład RSA 93 5.10. Podpisy cyfrowe i certyfikaty 94 5.11. Ataki kwantowe 95 5.12. Następny krok 96 6. Konwersja analogowo-cyfrowa 97 6.1. Trygonometria w radianach 100 6.2. Szereg Fouriera 104 6.3. Ludzie są ograniczeni – możemy digitalizować dźwięk 106 6.4. Drobny przykład 108 6.5. Jak digitalizować 111 6.6. Twierdzenie o próbkowaniu – twierdzenie Nyquista-Shannona 112 6.7. Aliasing 114 6.8. Dalszy ciąg 118 7. Metody obliczeniowe 119 7.1. Artykuł Shannona na temat przełączników i przekaźników 120 7.2. Logika 121 7.3. Funkcje boolowskie, równoważność logiczna i system funkcjonalnie pełny 123 7.4. Algebra Boole'a 125 7.5. Przełączniki i przekaźniki 125 7.6. Przekaźniki, lampy próżniowe i tranzystory 129 7.7. Artykuł Turinga na temat obliczeń 132 7.8. Program Hilberta i twierdzenia o niekompletności Gödla 132 7.9. Zrównoważone nawiasy 135 7.10. Maszyny Turinga 136 7.11. Maszyna Turinga do zrównoważonych nawiasów 138 7.12. Hipoteza Church-Turinga 144 7.13. Komputer uniwersalny 146 7.14. Memex 149 7.15. Różnorodność 150 8. Uczenie maszynowe 155 8.1. Zbiór danych MNIST 156 8.2. Algorytmy uczenia – wprowadzenie 159 8.3. Metoda gradientu prostego 160 8.4. Pochodne 164 8.5. Pochodne numeryczne 166 8.6. Gradient prosty dla kwadratowej funkcji kosztu 167 8.7. Bardziej ogólne funkcje kosztu jednej zmiennej 170 8.8. Funkcje kosztu z dwoma parametrami 171 8.9. Pochodne cząstkowe 174 8.10. Numeryczne pochodne cząstkowe 175 8.11. Funkcje kosztu z wieloma parametrami 177 8.12. Algorytmy uczenia maszynowego 179 8.13. Dane 179 8.14. Przykład uczenia nadzorowanego 180 8.15. Przykład uczenia nienadzorowanego 183 8.16. Uwagi 187 9. Sieci neuronowe 189 9.1. Sieci neuronowe i logika 190 9.2. Sieci neuronowe i uczenie maszynowe 198 9.3. Sieci neuronowe dla zbioru danych MNIST 206 9.4. Wdrożenie 209 9.5. Czego nauczyła się nasza sieć? 210 9.6. Splotowe sieci neuronowe 212 9.7. Kierunek dalszych działań 213 Dodatek A 217 Dodatek B 221 Dodatek C 249