Za darmo

ebook Hybrydowe modelowanie procesów demograficznych z wykorzystaniem rozmytych przyłączających układów dynamicznych Agnieszka Rossa, Lesław Socha, Andrzej Szymański

Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego

Rok wydania: 2016

Umieralność i prawidłowości z nią związane są przedmiotem dociekań od wielu stuleci. Za ojca metodologii tablic wymieralności uznaje się J. Graunta, który w roku 1662 opublikował pracę „Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality”. Kontynuatorem badań Graunta był angielski astronom E. Halley. Autorem współczesnej metodologii budowy tablic wymieralności jest C. L. Chiang. Gwałtowny rozwój teorii i zastosowań modeli umieralności obserwujemy szczególnie w ostatnich czterech dekadach, czego dowodem jest też niniejsza książka. Przedstawione są w niej najnowsze modele umieralności, które umożliwiają prognozowanie procesu wymierania populacji w perspektywie średnio- i długookresowej. Autorzy omawiają kolejne modyfikacje modelu Lee-Cartera, wykorzystując teorię równań różniczkowych, algebry liczb rozmytych oraz algebry liczb zespolonych. Zastosowanie tych struktur pozwala na modelowanie umieralności, a następnie na wskazanie własności prognostycznych poszczególnych modeli. W sytuacji starzenia się społeczeństw w krajach rozwiniętych proponowane modele mogą znaleźć zastosowanie m.in. w planach emerytalnych i ubezpieczeniach na życie.

Spis treści ebooka Hybrydowe modelowanie procesów demograficznych z wykorzystaniem rozmytych przyłączających układów dynamicznych

Wstęp 9

Rozdział 1. Modele umieralności 13
1.1. Wprowadzenie 13
1.2. Podstawowe tablicowe mierniki umieralności 13
1.3. Związek kohortowych współczynników zgonów i prawdopodobieństw zgonów 14
1.4. Modele interpolacyjne 15
1.4.1. Model interpolacji liniowej 16
1.4.2. Model interpolacji wykładniczej 17
1.5. Inne tablicowe mierniki umieralności 20
1.6. Związek kohortowych współczynników zgonów i natężenia zgonów 20
1.7. Prawa umieralności 24
1.8. Wybrane modele umieralności 27
1.8.1. Model Lee–Cartera 28
1.8.2. Modyfikacje i uogólnienia modelu Lee–Cartera 33
1.8.3. Model rozmyty Koissi–Shapiro 38
1.8.4. Wybrane dynamiczne modele umieralności – model
Vasička i Coxa–Ingersolla–Rossa 39
1.8.5. Dynamiczny model umieralności Lee–Cartera 40
1.8.6. Model Milevskiego–Promislowa i model Giacometti 43
1.8.7. Uogólniony model Milevskiego–Promislowa z wektorowym, liniowym filtrem 45
1.9. Uwagi końcowe 45

Rozdział 2. Statyczne i dynamiczne modele hybrydowe 47
2.1. Statyczne modele hybrydowe 47
2.2. Dynamiczne modele hybrydowe 49
2.3. Momentowe modele hybrydowe 55
2.4. Uwagi końcowe 62

Rozdział 3. Dynamiczne, hybrydowe modele umieralności 63
3.1. Wprowadzenie 63
3.2. Skalarny, hybrydowy model Vasička 64
3.3. Skalarny, hybrydowy model Coxa–Ingersolla–Rossa 64
3.4. Skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera 65
3.5. Uogólniony, skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera 66
3.6. Uogólnione, hybrydowe modele Milevskiego–Promislowa 68
3.6.1. Model ze skalarnym, liniowym filtrem 68
3.6.2. Model z wektorowym, liniowym filtrem 71
3.6.3. Model z liniowymi, skalarnymi filtrami 79
3.6.4. Model z niezależnymi, liniowymi, skalarnymi filtrami 81
3.7. Dyskretno-czasowe reprezentacje modeli hybrydowych 84
3.7.1. Uogólniony, skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera 84
3.7.2. Uogólnione, hybrydowe modele Milevskiego–Promislowa 84
3.7.3. Dyskretno-czasowa reprezentacja układu równań momentów dla uogólnionych, hybrydowych modeli Milevskiego–Promislowa 87
3.8. Estymacja parametrów hybrydowych modeli umieralności 89
3.8.1. Estymacja parametrów hybrydowego modelu Lee–Cartera 89
3.8.2. Estymacja parametrów uogólnionego, hybrydowego modelu Milevskiego–Promislowa 90
3.9. Uwagi końcowe 92

Rozdział 4. Model Koissi–Shapiro oparty na skierowanych liczbach rozmytych 93
4.1. Wprowadzenie 93
4.2. Algebra skierowanych liczb rozmytych OFN 94
4.3. Model umieralności typu Koissi–Shapiro 105
4.4. Przełącznikowa fazyfikacja macierzy obserwacji 107
4.4.1. Metoda fazyfikacji obserwacji 107
4.4.2. Wykrywanie punktów przełączenia 110
4.4.3. Podstawy teoretyczne testu JL 114
4.4.4. Poszukiwanie punktu przełączenia funkcji trendu 115
4.5. Estymacja parametrów modelu Koissi–Shapiro 124
4.6. Uwagi końcowe 126

Rozdział 5. Modele umieralności oparte na zmodyfikowanych liczbach rozmytych i funkcjach zespolonych 127
5.1. Wprowadzenie 127
5.2. Model umieralności oparty na algebrze zmodyfikowanych liczb rozmytych 127
5.2.1. Estymacja parametrów modelu 130
5.3. Model umieralności oparty na funkcjach zespolonych 133
5.3.1. Estymacja parametrów modelu 136
5.4. Kwaternionowy model umieralności 137
5.4.1. Estymacja parametrów modelu 141
5.5. Uwagi końcowe 145

Rozdział 6. Estymacja i ewaluacja modeli umieralności 147
6.1. Wprowadzenie 147
6.2. Wyniki estymacji dynamicznego, hybrydowego modelu Lee–Cartera 149
6.3. Wyniki estymacji hybrydowego modelu Milevskiego–Promislowa 154
6.4. Wyniki estymacji modelu umieralności opartego na zmodyfikowanych liczbach rozmytych 163
6.5. Wyniki estymacji modelu kwaternionowego 169
6.6. Uwagi końcowe 174

Dodatek A. Elementy analizy procesów stochastycznych i równania stochastyczne 177
A.1. Podstawowe definicje procesów stochastycznych 177
A.1.1. Procesy drugiego rzędu 179
A.1.2. Procesy stacjonarne 181
A.1.3. Procesy gaussowskie 181
A.1.4. Procesy Markowa 182
A.1.5. Procesy o przyrostach niezależnych 184
A.1.6. Biały szum 186
A.2. Rachunek różniczkowy i całkowy procesów stochastycznych 188
A.2.1. Całkowanie oraz różniczkowanie w sensie średnio-kwadratowym 188
A.2.2. Całki stochastyczne względem procesów dyfuzyjnych 189
A.2.3. Formuła Itô dla procesów dyfuzyjnych 192
A.2.4. Stochastyczne równania różniczkowe Itô i Stratonowicza dla procesów dyfuzyjnych 193
A.3. Równania momentów w liniowych, stochastycznych układach dynamicznych 198
A.3.1. Układy liniowe z addytywnymi wymuszeniami 198
A.3.2. Układy liniowe z addytywnymi i parametrycznymi wymuszeniami 200
A.4. Metody dyskretyzacji stochastycznych równań różniczkowych 203

Dodatek B. Elementy algebry zmodyfikowanych liczb rozmytych i zespolonych 205
B.1. Zmodyfikowane liczby rozmyte 205
B.2. Liczby i funkcje zespolone 211
B.2.1. Algebra Banacha C∗ 212
B.2.2. Algebra Banacha C(T ) 212
B.2.3. Przestrzeń kwaternionów 218

Bibliografia 229