ebook Symetria w fizyce materii Jerzy Ginter

Spis treści ebooka Symetria w fizyce materii

Przedmowa 11
Wstęp 15

Część I. W świecie geometrii elementarnej
1. Izometrie w dwóch wymiarach 21
1.1. Wstęp 21
1.2. Izometrie w dwóch wymiarach w geometrii
elementarnej 22
1.3. Składanie izometrii 24
1.4. Wynik złożenia izometrii w dwóch wymiarach
28
1.5. Izometrie sprzężone 28
1.6. Przekształcanie wektora 30
1.7. Iloczyn skalarny 32
1.8. Przekształcanie funkcji 32

2. Przekształcenia symetrii w dwóch wymiarach 35
2.1. Symetrie fi gur płaskich 35
2.2. Symetria kwadratu 36
2.3. Składanie operacji symetrii 38
2.4. Tabela grupowa 40
2.5. Grupa przekształceń 41
2.6. Psujemy kwadrat, czyli przykłady podgrup 42
2.7. Symetrie wielokątów foremnych o parzystej
liczbie boków 46
2.8. Symetria trójkąta równobocznego 46
2.9. Układy o symetrii obrotowej bez odbić 47
2.10. Symetrie sprzężone 48
2.11. Klasy elementów sprzężonych 50

3. Symetria obrazów dyfrakcyjnych 52
3.1. Symetria obrazów dyfrakcji światła na
otworach 52
3.2. Wyniki doświadczenia dla otworu kwadratowego
52
3.3. Dyfrakcja w granicy Fraunhofera 53
3.4. Opis dyfrakcji na otworze kwadratowym w
granicy Fraunhofera 56
3.5. Wyniki doświadczenia dla otworu trójkątnego
57
3.6. Symetria obrazu dla otworu trójkątnego w
granicy Fraunhofera 58
3.7. Iloczyn prosty grup 60
3.8. Opis dyfrakcji na otworze trójkątnym w
granicy Fraunhofera 61
3.9. Symetria obrazów dyfrakcyjnych siatek
płaskich 62

4. Izometrie w trzech wymiarach 64
4.1. Izometrie w trzech wymiarach: obrót,
odbicie, inwersja 64
4.2. Składanie izometrii w trzech wymiarach 67
4.3. Izometrie w trzech wymiarach: obroty
zwierciadlane i obroty inwersyjne 70
4.4. Wynik złożenia izometrii w trzech wymiarach
73
4.5. Złożenie odbicia i obrotu 76
4.6. Izometrie sprzężone 77
4.7. Przekształcenia wektorów 81
4.8. Przekształcenia funkcji 83
4.9. Pseudowektory 84
4.10. Transformacje pseudowektorów 86

5. Symetrie w trzech wymiarach 89
5.1. Symetrie w trzech wymiarach 89
5.2. Symetrie sześcianu 90
5.3. Symetria ośmiościanu i kubooktaedru 94
5.4. Grafi czne przedstawianie układów atomów 94
5.5. Układy atomów o symetrii sześcianu lub
ośmiościanu 95
5.6. Składanie symetrii i symetrie sprzężone 96
5.7. Psujemy sześcian. Prostopadłościan o
podstawie kwadratowej 97
5.8. Psujemy sześcian. Prostopadłościan dowolny
99
5.9. Psujemy sześcian. Romboedr 100
5.10. Symetrie czworościanu 100
5.11. Symetrie wybranych układów atomów 103

6. Momenty dipolowe 106
6.1. Rozważania wstępne, pole układu ładunków o
symetrii sferycznej 106
6.2. Elektryczny moment dipolowy 108
6.3. Elektryczny moment dipolowy cząsteczek 111
6.4. Elektryczny moment dipolowy a symetria
układu 114
6.5. Niezmienniczość wektora 118
6.6. Przekształcanie funkcji a moment dipolowy
120
6.7. Magnetyczny moment dipolowy 120
6.8. Moment magnetyczny w mikroświecie 122
6.9. Magnetyczny moment dipolowy a symetria
układu 125

7. Grupy przekształceń 128
7.1. Wstęp 128
7.2. Grupy symetrii 128
7.3. Dygresja: inne grupy 130
7.4. Generatory grupy 132
7.5. Podgrupy 134
7.6. Twierdzenie Lagrange’a 136
7.7. Klasy elementów sprzężonych 139
7.8. Podgrupy niezmiennicze 141

Część II. W świecie geometrii analitycznej
8. Macierze izometrii w dwóch wymiarach 147
8.1. Macierzowy zapis wektorów 147
8.2. Iloczyn skalarny 148
8.3. Macierze izometrii w dwóch wymiarach 149
8.4. Macierze obrotów w dwóch wymiarach 150
8.5. Transformacja wektorów bazy przy obrocie 153
8.6. Macierze odbić w dwóch wymiarach 156
8.7. Transformacja wektorów bazy przy odbiciu 159
8.8. Składanie macierzy izometrii 160
8.9. Przykłady składania izometrii w dwóch
wymiarach 160
8.10. Macierze odwrotne 162
8.11. Przekształcanie funkcji 163

9. Ogólne własności macierzy izometrii w dwóch wymiarach 167
9.1. Zachowanie długości wektorów, macierze
ortogonalne 167
9.2. Macierze izometrii sprzężonych 169
9.3. Zmiana układu współrzędnych 170
9.4. Sens współczynników qnm 174
9.5. Transformacja współrzędnych przy obrocie i
odbiciu 175
9.6. Odwrotna transformacja współrzędnych 177
9.7. Transformacja wektorów bazy 178
9.8. Transformacja macierzy izometrii 178
9.9. Niezmienniki zmiany współrzędnych 180
9.10. Transformacja funkcji przy zmianie układu
współrzędnych 181

10. Macierze symetrii w dwóch wymiarach 184
10.1. Macierze przekształceń symetrii kwadratu
184
10.2. Grupy macierzowe przekształceń symetrii 188
10.3. Reprezentacje macierzowe grup przekształceń
191
10.4. Symetrie prostokąta i rombu 191
10.5. Reprezentacje równoważne 192
10.6. Symetrie trójkąta równobocznego 192
10.7. Przekształcanie funkcji typu p pod wpływem
operacji symetrii kwadratu 193
10.8. Przekształcanie funkcji typu d pod wpływem
operacji grupy kwadratu 195
10.9. Przekształcanie funkcji typu d pod wpływem
operacji symetrii grupy ośmiokąta 198

11. Macierze izometrii w trzech wymiarach 201
11.1. Transformacje wektorów 201
11.2. Składanie macierzy izometrii 203
11.3. Ogólne własności macierzy izometrii w
trzech wymiarach 204
11.4. Obrót w trzech wymiarach 206
11.5. Ślad macierzy izometrii sprzężonych 211
11.6. Odbicie w trzech wymiarach 211
11.7. Inwersja i obroty inwersyjne 214
11.8. Macierze transformacji pseudowektorów 216
11.9. Wyznacznik i ślad macierzy transformacji
pseudowektorów 218

12. Macierze symetrii w trzech wymiarach 219
12.1. Macierze symetrii grupy sześcianu 219
12.2. Macierze symetrii prostopadłościanu
ogólnego 221
12.3. Macierze symetrii ostrosłupa o podstawie
trójkątnej 222
12.4. Popsuty sześcian 223
12.5. Macierze transformacji wektora i
pseudowektora pod wpływem operacji grupy
symetrii ostrosłupa o podstawie prostokątnej 227

13. Macierze przekształceń w zastosowaniach fi zycznych 230
13.1. Elektryczny moment dipolowy cząsteczek 230
13.2. Indukowany elektryczny moment dipolowy 233
13.3. Symetria tensora polaryzowalności 236
13.4. Przykład 1. Symetria obrotowa wokół osi 3
237
13.5. Przykład 2. Symetria prostopadłościanu 240
13.6. Przykład 3. Symetria czworościanu 241
13.7. Przykład makroskopowy: kula przewodząca 242
13.8. Przykład makroskopowy: obrotowa elipsoida
przewodząca 244
13.9. Przykłady mikroskopowe: półklasyczny model
atomu wodoru 246
13.10. Polaryzowalność atomów 249
13.11. Polaryzowalność cząsteczek 251
13.12. Tensor bezwładności 253

Część III. W świecie reprezentacji
14. Drgania membran 259
14.1. Wstęp 259
14.2. Dwuwymiarowe klasyczne równanie falowe 261
14.3. Zmiana układu współrzędnych 263
14.4. Fale na membranie kwadratowej 265
14.5. Formalny opis fal na membranie kwadratowej
266
14.6. Przerabiamy uzyskane wyniki 271
14.7. Wstępne rozważania dotyczące symetrii
funkcji falowych 273
14.8. Mody zdegenerowane 21 i 12, funkcje
rzeczywiste 277
14.9. Mody zdegenerowane 21 i 12, funkcje
zespolone 281
14.10. Różne wybory bazy rozwiązań równania
falowego 285
14.11. Degeneracje przypadkowe, n i m nieparzyste
287
14.12. Degeneracje przypadkowe, n i m parzyste
291
14.13. Podsumowanie 293

15. Reprezentacje grupy kwadratu 295
15.1. Macierzowa reprezentacja grupy 295
15.2. Reprezentacje grupy kwadratu 297
15.3. Reprezentacje równoważne 301
15.4. Reprezentacje równoważne grupy kwadratu.
Macierze rzeczywiste 302
15.5. Reprezentacje równoważne grupy kwadratu.
Macierze zespolone 305
15.6. Macierze ortogonalne, macierze unitarne 307
15.7. Reprezentacje przywiedlne i nieprzywiedlne
309

16. Reprezentacje grup 314
16.1. Co już wiemy o reprezentacjach 314
16.2. Własności symetrii rozwiązań równania
liniowego 316
16.3. Operator Laplace’a 318
16.4. Niezmienniki reprezentacji 320
16.5. Charaktery operacji symetrii należących do
tej samej klasy 323
16.6. Reprezentacja regularna 323
16.7. Przykład reprezentacji regularnej, grupa
symetrii prostokąta 325
16.8. Przykład reprezentacji regularnej, grupa
symetrii kwadratu 328

17. Relacje ortogonalności 332
17.1. Pytania 332
17.2. Sformułowanie relacji ortogonalności 332
17.3. Liczba nieprzywiedlnych reprezentacji jest
skończona 337
17.4. Ile nieprzywiedlnych reprezentacji ma
grupa? 338
17.5. Kryteria przywiedlności reprezentacji 340

18. Małe drgania 342
18.1. Wstęp 342
18.2. Dwie masy na gumce 342
18.3. Inne spojrzenia na problem 344
18.4. Energia potencjalna układu 345
18.5. Spojrzenie trochę ogólniejsze 347
18.6. Układ 4 mas 349
18.7. Układ 4 mas o symetrii kwadratu 351
18.8. Układ 8 mas o symetrii kwadratu 354
18.9. Drgania cząsteczek 359

19. Symetria związanych stanów elektronowych 361
19.1. Równanie Schrödingera 361
19.2. Nieskończona kwadratowa studnia potencjału
361
19.3. Nieskończona kwadratowa studnia potencjału,
degeneracje przypadkowe 365
19.4. Nieskończona kwadratowa studnia potencjału,
konsekwencje degeneracji wynikających z symetrii
369
19.5. Gęstość prądu prawdopodobieństwa 371
19.6. Metoda LCAO, cząsteczka wodoru 374
19.7. Cząsteczka czteroatomowa 378
19.8. Znoszenie degeneracji stanów atomowych
przez zaburzenie zewnętrzne, model dwuwymiarowy
381
19.9. Znoszenie degeneracji stanów atomowych
przez zaburzenie zewnętrzne 383

A. Jednostki układu CGSE 387
B. Izometria w dwóch wymiarach jest albo obrotem,
albo odbiciem 391
C. Izometria w trzech wymiarach jest albo obrotem,
albo obrotem inwersyjnym 394
D. Tensor polaryzowalności jest symetryczny 399
E. Dwuwymiarowe klasyczne równanie falowe 404

Literatura 408
Źródła fotografii 409