ebook Analiza, cz. 1 Krzysztof Maurin

Wydawca: Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania: 2010

Każde słowo – podobnie jak imię – niesie w sobie różną treść, budzi różne skojarzenia zależne od doświadczeń tego, kogo spotyka. I tak, słowo analiza znaczy dla każdego matematyka coś innego. Dla jednych obejmuje ono niewiele więcej niż rachunek różniczkowy i całkowy, dla innych kojarzy się z twierdzeniem Riemanna–Rocha czy formami harmonicznymi. Jest to jedyny podręcznik, który wychodząc od zera – dokładniej mówiąc od liczb wymiernych – dochodzi do teorii dystrybucji, całek prostych, analizy na rozmaitościach zespolonych, przestrzeni Kählera, teorii snopów i wiązek wektorowych itd. Celem moim było pokazanie młodemu człowiekowi piękna i bogactwa tego niezwykłego świata, jakim jest współczesna analiza matematyczna.

(z Przedmowy)

Książka jest wznowieniem piątego zmienionego wydania pierwszej części trylogii prof. Krzysztofa Maurina Analiza, które ukazało się nakładem PWN w 1991 roku jako tom 69 Biblioteki Matematycznej.

Część I ma charakter podręcznika. Dominującym obiektem w tej części jest pochodna i jej zastosowania. Autor zaczyna wykład od pojęć i zagadnień elementarnych i dochodzi, poprzez fakty z analizy klasycznej, do problemów i teorii będącej przedmiotem badań współczesnej matematyki. Prostota i jasność wykładu, zwięzły styl, wszelkie niezbędne definicje, liczne przykłady i komentarze ułatwiają czytelnikowi – nawet o skromnej wiedzy matematycznej – przyswojenie materiału.

Plik PDF ma postać skanów co uniemożliwia przeszukiwanie tekstu.

Spis treści ebooka Analiza, cz. 1

Wstęp 11

Rozdział I. Zbiory. Relacje. Odwzorowania. Rodziny. Liczby rzeczywiste 25
§ 1. Oznaczenia logiczne. Prawa De Morgana 25
§ 2. Algebra zbiorów 26
§ 3. Iloczyn kartezjański. Relacje. Odwzorowania. Rodziny zbiorów 28
§ 4. Relacje równoważności. Przestrzeń i struktura ilorazowa 32
§ 5. Lemat Kuratowskiego-Zorna. Relacje porządkujące 38
§ 6. Teoria liczb rzeczywistych według Cantora-Meraya 40
§ 7. Działania na liczbach rzeczywistych. Granica ciągu liczb rzeczywistych 42
§ 8. Twierdzenia o granicach ciągów 46

Rozdział II. Przestrzenie metryczne. Odwzorowanie ciągłe 49
§ 1. Pojęcia odległości i przestrzeni metrycznej 49
§ 2. Produkt przestrzeni metrycznych 50
§ 3. Kresy zbioru 51
§ 4. Zbiory otwarte. Topologia przestrzeni 52
§ 5. Zbiory domknięte. Domknięcie zbioru 54
§ 6. Ciągi Cauchy'ego, zupełność przestrzeni metrycznej 56
§ 7. Odwzorowania ciągłe 57
§ 8. Zwartość 61
§ 9. Funkcje i odwzorowania ciągłe na zbiorach zwartych 64
§ 10. Przestrzenie spójne 65

Rozdział III. Różniczkowanie i całkowanie funkcji jednej zmiennej 67
§ 1. Pochodna i różniczka 67
§ 2. Własności pochodnych 69
§ 3. Zbiory skierowane. Ciągi uogólnione (ogólna teoria granic) 74
§ 4. Całka Riemanna 77
§ 5. Logarytm i funkcja wykładnicza 84
§ 6. Funkcje exp oraz logarytm jako granice 87
§ 7. Rozszerzanie odwzorowań ciągłych 88
§ 8. Funkcje hiperboliczne 89

Rozdział IV. Zbiory i funkcje wypukłe 91
§ 1. Zbiory i funkcje wypukłe 91
§ 2. Wypukłość a półciągłość 95

Rozdział V. Wzór Taylora. Zbieżność ciągów odwzorowań. Szeregi potęgowe 100
§ 1. Uogólnione twierdzenie o wartości śedniej rachunku całkowego 100
§ 2. Wzór Taylora 101
§ 3. Zastosowanie wzory Taylora 106
§ 4. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu odwzorowań 110
§ 5. Szeregi potęgowe 115
§ 6. Funkcje analityczne 122
§ 7. Funkcje trygonometryczne i ich związek z funkcją exp 124

Rozdział VI. Całki na zbiorach niezwartych 130
§ 1. Całki na zbiorach niezwartych 130

Rozdział VII. Przestrzenie Banacha. Różniczkowanie odwzorowań. Ekstrema funkcji i funkcjonałów 138
§ 1. Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha 138
§ 2. Odwzorowania liniowe ciągłe przestrzeni Banacha 142
§ 3. Różniczkowanie odzwzorowań przestrzeni Banacha 148
§ 4. Formalne prawa różniczkowania 152
§ 5. Twierdzenia o wartości średniej 158
§ 6. Pochodne cząstkowe 161
§ 7. Odwzorowania wieloliniowe 168
§ 8. Pochodne wyższych rzędów 170
§ 9. Wzór Taylora 184
§ 10. Pochodne słabe (pochodne Gateaux) 188
§ 11. Ekstrema funkcji i funkcjonałow 195
§ 12. Równania Eulera-Lagrange'a 199
§ 13. Różniczkowanie na zbiorach nieotwartych 200

Rozdział VIII. Metoda kolejnych przybliżeń. Lokalna odwracalność odwzorowań. Ekstrema związane 202
§ 1. Metoda kolejnych przybliżeń. Zasada Banacha 202
§ 2. Lokalna odwracalność odwzorowań. Twierdzenie o rzędzie 207
§ 3. Odwzorowania uwikłane 214
§ 4. Ekstrema związane 219

Rozdział IX. Równania różniczkowe zwyczajne 230
§ 1. Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych 230
§ 2. Równania różniczkowe. Zagadnienia początkowe 234
§ 3. Zależność rozwiązania od parametru 241
§ 4. Zależność rozwiązania od warunków początkowych 252
§ 5. Układy równań różniczkowych 255
§ 6. Równania wyższych rzędów 257
§ 7. Równania z prawą stroną analityczną 258
§ 8. Twierdzenie Peano 260
§ 9. Równania różniczkowe liniowe 262
§ 10. Odwzorowanie A › exp A 268
§ 11. Ogólna postać rezolwenty równania jednorodnego 270
§ 12. Równania liniowe w przestrzeni skończenie wymiarowej 274
§ 13. Równanie skalarne rzędu n. Wyznacznik Wrońskiego 277
§ 14. Równania liniowe o stałych współczynnikach 279
§ 15. Równania skalarne rzędu n o stałych współczynnikach 286
§ 16. Całki pierwsze 296
§ 17. Układy dynamiczne 300
§ 18. Równania cząstkowe rzędu pierwszego. Metoda charakterystyk 303
§ 19. Twierdzenie Frobeniusa-Dieudonnégo 311

Rozdział X. Teoria krzywych w przestrzeni Eⁿ 316
§ 1. Krzywa i długość łuku. Opis naturalny 316
§ 2. Ortonormalizacja Schmidta 319
§ 3. Wzory Freneta 321
§ 4. Krzywe zwyrodniałe 324
§ 5. Twierdzenie podstawowe teorii krzywych 326

Rozdział XI. Rodziny funkcji ciągłych na przestrzeni prezwartej 332
§ 1. Prezwartość. Twierdzenia Ascolego 332
§ 2. Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa. Jednostajna aproksymacja funkcji ciągłych na zbiorach zwartych 339
§ 3. Funkcje okresowe i prawie okresowe 343
Dodatek. Całkowanie funkcji wymiernych 347
§ 1. Całkowanie funkcji wymiernych 347
§ 2. Ważniejsze podstawienia, całki, funkcje, szeregi 349

Skorowidz oznaczeń 353
Skorowidz nazwisk 358
Skorowidz nazw 360