Ebook Analiza, cz. 2 Krzysztof Maurin

87,62 zł

Dodaj do ulubionych

Opis treści

Każde słowo – podobnie jak imię – niesie w sobie różną treść, budzi różne skojarzenia zależne od doświadczeń tego, kogo spotyka. I tak, słowo analiza znaczy dla każdego matematyka coś innego. Dla jednych obejmuje ono niewiele więcej niż rachunek różniczkowy i całkowy, dla innych kojarzy się z twierdzeniem Riemanna–Rocha czy formami harmonicznymi. Jest to jedyny podręcznik, który wychodząc od zera – dokładniej mówiąc od liczb wymiernych – dochodzi do teorii dystrybucji, całek prostych, analizy na rozmaitościach zespolonych, przestrzeni Kählera, teorii snopów i wiązek wektorowych itd. Celem moim było pokazanie młodemu człowiekowi piękna i bogactwa tego niezwykłego świata, jakim jest współczesna analiza matematyczna.

(z Przedmowy)

Książka jest wznowieniem drugiego zmienionego wydania drugiej części trylogii prof. Krzysztofa Maurina Analiza, które ukazało się nakładem PWN w 1991 roku jako tom 70 Biblioteki Matematycznej.

W części II centralnym pojęciem jest tu całka. Autor opowiada historię narodzin podstawowych pojęć i struktur matematyki współczesnej, pokazuje ich powiązanie z fizyką i filozofią, kładąc duży nacisk na rolę tradycji w matematyce. Liczne komentarze sprawiają, że czytelnik może dostrzec związki, które łączą na pozór odległe działy matematyki.

Spis treści ebooka Analiza, cz. 2

Rozdział XII. Ogólne struktury matematyki 17
§ 1. Przestrzenie topologiczne 21
§ 2. Bazy otoczeń. Aksjomaty przeliczalności 24
§ 3. Filtry 27
§ 4. Przestrzenie zwarte 33
§ 5. Iloczyn kartezjański (produkt) przestrzeni topologicznych 36
§ 6. Przestrzenie metryczne. Przestrzenie Baire'a 39
§ 7. Topologiczny produkt przestrzeni metrycznych 43
§ 8. Funkcje półciągłe 44
§ 9. Przestrzenie regularne 47
§ 10. przestrzenie jednostajne. Zupełność przestrzeni 49
§ 11. Przestrzenie jednostajne prezwarte i zwarte 57
§ 12. Struktury jednostajne na przestrzeniach odwzorowań 59
§ 13. Rodziny odwzorowań jednakowo ciągłych. Oólne twierdzenie Ascolego 60
§ 14. Interludium 64
§ 15. Struktury różniczkowalne. Przestrzenie styczne. Pola wektorowe 66
§ 16. Granice rzutowe (odwrotne) przestrzeni topologicznych 76
§ 17. Granice induktywne. Presnopy. Nakrycie wyznaczone przez presnop 78
§ 18. Algebry. Algebry grupowe, tensorowe, Clifforda, Grassmanna i Liego. Twierdzenia Botta-Milnora, Wedderburna, Hurwitza 86
§ 19. Ciała i ich rozszerzenia 97
§ 20. Teoria Galois. Grupy rozwiązalne 106
§ 21. Konstrukcje za pomocą linijki i cyrkla. Ciała cyklotomiczne. Twierdzenie Kroneckera-Weber 112
§ 22. Elementy algebraiczne i przestępne (trescendentne) 115
§ 23. Zasada Weyla 116
§ 24. Riemanna teorii funkcji algebraicznych 118
§ 25. Lokalny opis odwzorowania holomorficznego ¦: M › N. Indeks rozgałęzienia. Twierdzenie Hurwitza-Riemanna 126
§ 26. Waluacje ciała ? (X) funkcji meromorficznych na zwartej powierzchni X (twierdzenie Dedekinda-Webera) 129
§ 27. Dalsze perspektywy teorii Riemanna 131
§ 28. Różniczkowanie współzmiennicze. Przesunięcie równoległe. Koneksje 134
§ 29. Refleksja nad złożoną strukturą matematyczną prostych pojęć fizyki na przykładzie mechaniki analicznej 143
§ 30. Wiązka styczna TM. Wiązki: wektorowe, włókniste, tensorowe i gęstości tensorowych, stowarzyszone 146
§ 31. G-przestrzenie. Reprezenacje grup 154
§ 32. Wiązki główne i stowarzyszone 157
§ 33. Reprezentacje indukowane a wiązki stowarzyszone 162
§ 34. Cofnięcie wiązki włóknistej. Grupa Picarda 164
§ 35. Wiązki wektorowe a snopy lokalnie swobodne 167
§ 36. Koneksje w wiązkach głównych. Forma koneksji 168
§ 37. Przeniesienia równoległe w G-wiązce głównej 171
§ 38. Koneksja indukowana w wiązce stowarzyszonej z wiązką główną 173
§ 39. Aksjomat o nakrywaniu homotopii 174
§ 40. Rozwłóknienia Serre'a. Ogólna teoria koneksji. Wnioski 176
§ 41. Funkcja wykładnicza 181
§ 42. Geodetyki i odwzorowania wykładnicze koneksji liniowej 182
§ 43. Wiązki Riemanna (Riemanna-Hilberta). Koneksje Riemanna i Leviego-Civity. Lemat Ricciego 184
§ 44. Rozmaitość Riemanna jako przestrzeń metryczna. Twierdzenie Hopfa-Rinowa 188
§ 45. Krzywizna a topologia - od Gaussa do von Dycka 195
§ 46. Formy różniczkowe o wartościach w wiązce wektorowej 199
§ 47. Zewnętrzna różniczka kowariancyjna d^N, a krzywizna K^N koneksji 201
§ 48. Krzywizny Gaussa i sekcyjna. Przestrzenie o stałek krzywiźnie. Twierdzenie F. Schura 203
§ 49. Koneksje w grupach Liego. Forma Killinga. Algebry i grupy półproste. Pola Killinga 207
§ 50. Przestrzenie symetryczne. Przykłady 210
§ 51. Homologia. Kohomologia. Kohomologia de Rhama 212
§ 52. kohomologia snopów. Abstrakcyjne twierdzenie de Rhama 215
§ 53. Charakterystyka Eulera (Eulera-Poincarégo) snopa. Twierdzenie Riemanna-Rocha 219
§ 54. holomorficzne wiązki prostych i dywizory. Twierdzenie o rozszczepieniu 222
§ 55. Grupy homotopii p_k (X, x₀). Rozwłóknienie Hopfa. Twierdzenie Serre'a o ciągu dokładnym grup homotopii rozwłóknienia 226
§ 56. Topologia grup liniowych GL (N, C). Twierdzenie Botta o periodyczności. Twierdzenie Poincarégo, twierdzenie Hurewicza 229
§ 57. Uniwersalne główne G-związki. Twierdzenie klasyfikujące. Przestrzenie klasyfikujące 231
§ 58. Klasy charakterystyczne i krzywizny koneksji wiązek. Rozmaitości Schuberta 236
§ 59. twierdzenie Hopfa-Poincarégo i twierdzenie Cherna-Gaussa-Bonneta 240
§ 60. Stopień odwzorowania i indeks punktu osobliwego pola wektorowego. Twierdzenie Hopfa. Wzór Lefshetza-Hopfa. Twierdzenie podstawowe algebry 244
§ 61. Klasy Cherna cd. (ich właściwości i aksjomatyka) 251
§ 62. Różnorakie pożytki z klas charakterystycznych (orientowalność, struktury spinowe). Grupa Clifforda, grupa spin 255
§ 63. Klasy charakterystyczne w fizyce. Koneksje a pola z cechowaniem 260
§ 64. Elektrodynamika Maxwella-Hertza. Monopole negatywne i klasfikacja Diraca 264
§ 65. Waluacje dyskretne ciała M (X) funkcji meromorficznych na zwartej powierzchni Riemanna. Twierdzenie Dedekinda-Webera 268
§ 66. Ciała z waluacją (normą). Pierścienie waluacyjne. Lemat Nakayamy 271
§ 67. Waluacje p-adyczne. Topologia p-adyczna Krulla. Liczby p-adyczne 277
§ 68. Twierdzenie chińskie o resztach. Mocne twierdzenie aproksymacyjne 282
§ 69. Twierdzenie aproksymayjne Ostrowskiego. twierdzenie o niezależności. Zastosowania do funkcji algebraicznych 284
§ 70. Przykłady ciał zupełnych z waluacją dyskretną k((t)), Q_p 290
§ 71. Twierdzenie o rozwinięciu (w szereg Laurenta) 292
§ 72. lemat Hensla i wnioski z niego. Rozszerzenia waluacji zupełnej. Kryterium Eisensteina. Pierścienie Hensla 293
§ 73. Stopień rozgałęzienia i stopień bezwładności rozszerzenia waluacji. Konstrukcja rozszerzeń waluacji 299
§ 74. Twierdzenie Ostrowskiego (ef=n). Rozszerzenia Galois 305
§ 75. Zastosowanie równości Ostrowskiego do funkcji algabraicznych 309
§ 76. Waluacje ciała k(x) funkcji wymiernych jednej zmiennej 311
§ 77. Normy ciała Q liczb wymiernych. Twierdzenie Ostrowskiego 314
§ 78. Dowód twierdzenia Riemanna Rocha w teorii Riemanna 316
§ 79. Charakteryzacja różniczekAbela jako różnicze Weila 323
§ 80. dwoistość Serre'a. Ostateczna postać twierdzenia Riemanna-Rocha 324
§ 81. Ciało funkcji algebraicznych (jednej zmiennej). Uwagi wstępne 326
§ 82. Dedekinda-Webera arytmetyczna teoria funkcji algebraicznych nad dowolnym ciałem. Twierdzenie Riemanna-Rocha-Dedekinda-Webera 329
§ 83. Słownik (analiza - topologia, algebra) 342
§ 84. Punkty (miejsca) ciała, waluacje i pierścienie waluacyjne. Abstrakcyjna powierzchnia Riemanna 344
§ 85. Funkcje algebraiczne nad ciałem k=C liczb zespolonych. Wprowadzenie struktury topologicznej i analitycznej 346
§ 86. Wnioski z twierdzenia Riemanna-Rocha-dedekinda-Webera. Różnuczki pierwszego rodzaju. Wyznaczanie rodzaju niektórych ciał 353
§ 87. Topologia Krulla (topologia p-adyczna). Topologia liniowa. Lokalne pierścienie Noether 356
§ 88. Lokalne zwarte ciała z waluacją. Zasada Hassego 363
§ 89. Pierścienie Dedekinda. Pierścień q_k liczb całkowitych ciała liczbowego K 367
§ 90. Teoria dywizorów, czyli ogólna teoria podzielności 374
§ 91. Ćwiczenia i uzupełnienia 382
Rozdział XIII. Teoria całki 386
§ 1. Uzwarcenie osi liczbowej R 386
§ 2. Całka Daniella-Stone'a 387
§ 3. Funkcjonał µ* i jego własności 391
§ 4. Miara zewnętrzna zbiorów 394
§ 5. Półnormy N_p. Nierówności Minkowskiego i Höldera 397
§ 6. Przestrzenie ?^p 401
§ 7. Przestrzenie ?^p 403
§ 8. Przestrzeń ?¹funkcji całkowalnych. Całka 405
§ 9. Zbiór e dla całki Radona. Półciągłość 408
§ 10. Zastosowanie twierdzenia Labesgue'a. Całki z parametrem. Całkowanie szeregów 411
§ 11. Funkcje mierzalne 417
§ 12. Miara. Zbiory całkowalne 420
§ 13. Aksjomat Stone'a i jego konsekwencje 423
§ 14. Przestrzenie L^p 427
§ 15. Twierdzenia Hahna-Banacha 429
§ 16. Przestrzenie Hilberta. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Postać funkcjonału liniowego 434
§ 17. Mocny aksjomat Stone'a i jego konsekwencje 438
§ 18. Iloczyn tensorowy całek 441
§ 19. Całki Radona. Miary jędrne 452
§ 20. Skończone miary Radona. Miary jędrne 456
§ 21. Iloczyn tensorowy całek Radona 458
§ 22. Całka Lebesgue'a na Rⁿ. Zmana ziennych 460
§ 23. Odwzorowanie całek Radona 468
§ 24. Całki z gęstością. Twierdzenie Radona-Nikodyma 468
§ 25. Całka Wienera 473
§ 26. Twierdzenie Kołmogorowa 476
§ 27. Całkowanie pól wektorowych 478
§ 28. Całki proste przestrzeni Hilberta 485
§ 29. O równoważności teorii całki Stone'a z teorią całki Radona 490
§ 30. Od miary do całki 491
Rozdział XIV. Analiza tensorowa. Formy harmoniczne. Kohomologie. Zastosowania w elektrodynamice 497
§ 1. Odwzorowania alternujące. Algebra Grassmanna 498
§ 2. Formy różniczkowe 501
§ 3. Przestrzenie kohomologii. Lemat Poincarégo 508
§ 4. Całkowanie form różniczkowych 512
§ 5. Elementy analizy wektorowej 526
§ 6. Rozmaitości różniczkowalne 542
§ 7. Przestrzenie styczne 546
§ 8. Kowariantne pola tensorowe. Matryka riemannowska i formy różniczkowe na rozmaitości 553
§ 9. Orientacja rozmaitości. Przykłady 558
§ 10. Twierdzenie Poincarégo-Stokesa dla rozmaitości z brzegiem 568
§ 11. Gęstości tensorowe. Dwoistość Weyla. Homologia 572
§ 12. Dwoistość Weyla i operator * Hodge'a. Uogólnione wzory Greena na rozmaitości riemannowskiej 585
§ 13. Formy harmoniczne. Teoria Hodge'a-Kodairy-de Rhama 588
§ 14. Zastosowanie do elektrodynamiki 597
§ 15. Formy niezminnicze (całka Hurwitza). Kohomologie zwartych grup Liego 602
§ 16. Uzupełnienia i ćwiczenia 610
Skorowidz oznaczeń 613
Skorowidz nazwisk 623
Skorowidz nazw 626