Analiza matematyczna. Rachunek całkowity i różniczkowy jednej zmiennej

Pojęcia analizy matematycznej zastosowane do funkcji wielu zmiennych razem z prawami fizyki pozwoliły napisać odpowiednie równania opisujące różne zjawiska. Jednak osobną sprawą jest napisać równania oraz rozumieć ich sens, inną zaś wiedzieć, jak te równania rozwiązać. Analiza matematyczna obejmuje również techniki przybliżonego i numerycznego rozwiązywania równań, pozwalające znaleźć ich rozwiązania przybliżone. Powstanie nowoczesnych komputerów w drugiej połowie XX wieku zrewolucjonizowało analizę właśnie ze względu na możliwości znajdowania takich przybliżonych rozwiązań. Niniejszy podręcznik adresowany jest do studentów matematyki i obejmuje wykłady z analizy matematycznej. Przedstawia materiał chronologicznie, zgodnie z programem pierwszego roku studiów (Ze Wstępu).

Wstęp 11 Rozdział 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby rzeczywiste 15 2. Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych 15 3. Liczby naturalne 18 4. Zasada indukcji zupełnej 18 5. Liczby całkowite i wymierne 19 6. Przedziały 19 7. Zbiory ograniczone 19 8. Aksjomat ciągłości. Kresy zbioru 20 9. Część całkowita liczby 21 10. Gęstość zbioru liczb wymiernych 22 11. Zbiory przeliczalne 23 12. Zbiory nieprzeliczalne 23 13. Liczby niewymierne 23 14. Potęga i logarytm 24 15. Liczby algebraiczne i liczby przestępne 25 16. Moduł liczby rzeczywistej 26 17. Prosta rzeczywista i prosta rozszerzona 26 18. Kresy zbioru nieograniczonego 27 Rozdział 2. Ciągi liczbowe 29 1. Pojęcie ciągu liczbowego 29 2. Monotoniczność ciągu 29 3. Ograniczoność ciągu 30 4. Zbieżność ciągu 30 5. Własności ciągów zbieżnych 31 6. Liczba e 37 7. Podciąg ciągu 39 8. Warunek Cauchy’ego zbieżności ciągu 40 9. Ciągi rozbieżne do nieskończoności 43 10. Symbole nieoznaczone 47 11. Punkt skupienia ciągu 49 12. Granice ekstremalne ciągu 49 Rozdział 3. Szeregi liczbowe 51 1. Pojęcie szeregu liczbowego 51 2. Zbieżność szeregu liczbowego 52 3. Suma szeregów zbieżnych 52 4. Warunki konieczne zbieżności szeregu 53 5. Warunek równoważny zbieżności szeregu 55 6. Zbieżność szeregów o wyrazach nieujemnych 55 7. Zbieżność szeregów o wyrazach dowolnych 58 8. Bezwzględna i warunkowa zbieżność szeregów 58 9. Szeregi naprzemienne 61 10. Prawo łączności szeregów zbieżnych 63 11. Prawo przemienności szeregów bezwzględnie zbieżnych 63 12. Mnożenie szeregów 64 Rozdział 4. Granica funkcji w punkcie 67 1. Wybrane własności funkcji 67 2. Działania na funkcjach 68 3. Funkcje cyklometryczne 70 4. Otoczenie i sąsiedztwo punktu 71 5. Wnętrze zbioru 72 6. Punkt skupienia i punkt izolowany zbioru 72 7. Granica funkcji w punkcie 72 8. Własności granicy funkcji w punkcie 77 9. Granice jednostronne funkcji w punkcie 79 10. Granice ekstremalne funkcji w punkcie 80 11. Asymptoty 81 Rozdział 5. Ciągłość funkcji 83 1. Pojęcie ciągłości funkcji 83 2. Ciągłość funkcji elementarnych 84 3. Ciągłość funkcji odwrotnej 85 4. Złożenie funkcji ciągłych 87 5. Ciągłość jednostronna 87 6. Jednostajna ciągłość funkcji 87 7. Własności funkcji ciągłych w przedziale 88 8. Własność Darboux 92 9. Granica złożenia z funkcją ciągłą 92 Rozdział 6. Pochodna funkcji 95 1. Pojęcie pochodnej funkcji 95 2. Pochodne jednostronne 96 3. Ciągłość a różniczkowalność funkcji 97 4. Różniczka funkcji 98 5. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji i jej różniczki 99 6. Fizyczny sens pochodnej 100 7. Funkcja pochodna i jej wyznaczanie 101 8. Pochodna funkcji odwrotnej 104 9. Reguły obliczania pochodnych 105 10. Pochodne funkcji cyklometrycznych 108 11. Pochodna funkcji danej parametrycznie 110 12. Zestawienie wzorów na funkcje pochodne 111 13. Pochodna logarytmiczna 112 Rozdział 7. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego 113 1. Twierdzenie o wartości średniej w rachunku różniczkowym 114 2. Wnioski z twierdzenia Lagrange’a 117 3. Granica funkcji pochodnej 118 4. Uogólnione twierdzenie o wartości średniej 119 5. Reguła de l’Hospitala 119 Rozdział 8. Pochodne wyższych rzędów.Wzór Taylora 123 1. Kolejne pochodne funkcji 123 2. Funkcje klasy Cn 124 3. Pochodne rzędu n-tego wybranych funkcji 125 4. Reguły wyznaczania n-tych pochodnych 127 5. Wzór Taylora i Maclaurina 128 6. Rozwinięcie wybranych funkcji wg wzoru Maclaurina 130 7. Wzory przybliżone 132 Rozdział 9. Badanie funkcji za pomocą pochodnych 135 1. Ekstremum lokalne funkcji 135 2. Warunek konieczny istnienia ekstremumlokalnego 137 3. Warunki dostateczne istnienia ekstremum 138 4. Ekstrema globalne funkcji 140 5. Wypukłość 142 6. Punkty przegięcia 146 7. Badanie przebiegu zmienności 148 Rozdział 10. Całka nieoznaczona 151 1. Funkcja pierwotna. Całkowanie funkcji 151 2. Najprostsze reguły całkowania 154 3. Wzory podstawowe 155 4. Trudności obliczania całek nieoznaczonych 156 5. Całkowanie przez podstawienie 157 6. Całkowanie przez części 158 7. Całkowanie funkcji wymiernych 160 8. Sprowadzanie wyrażenia podcałkowego do postaci wymiernej 163 Rozdział 11. Całka oznaczona 169 1. Funkcje całkowalne w sensie Riemanna 169 2. Całki Darboux 171 3. Warunek istnienia całki oznaczonej 172 4. Klasy funkcji całkowalnych 174 5. Sens geometryczny całki oznaczonej 176 6. Własności całki oznaczonej 178 7. Związek między całką oznaczoną i całką nieoznaczoną 184 8. Zamiana zmiennej w całce oznaczonej (całkowanie przez podstawienie) 187 9. Całkowanie przez części w całce oznaczonej 188 Rozdział 12. Zastosowania całki oznaczonej 189 1. Krzywa na płaszczyźnie 189 2. Zastosowanie całek do obliczania pól 191 3. Długość krzywej na płaszczyźnie 194 4. Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej 197 5. Przykłady zastosowań całek oznaczonych w fizyce 205 6. Uwagi końcowe 206 Rozdział 13. Całka niewłaściwa 209 1. Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej 209 2. Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym 213 3. Kryterium całkowe zbieżności szeregu 215 4. Stała Eulera 219 Rozdział 14. Ciągi funkcyjne 221 1. Zbieżność punktowa ciągu funkcyjnego 221 2. Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego 222 3. Warunki Cauchy’ego zbieżności ciągu funkcyjnego 222 4. Ciągłość funkcji granicznej 223 5. Różniczkowanie ciągów funkcyjnych 224 6. Całkowanie ciągów funkcyjnych 226 Rozdział 15. Szeregi funkcyjne 229 1. Zbieżność szeregu funkcyjnego 229 2. Zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego 230 3. Warunek Cauchy’ego jednostajnej zbieżności 230 4. Warunki dostateczne jednostajnej zbieżności 231 5. Ciągłość sumy szeregu funkcyjnego 232 6. Różniczkowanie szeregów funkcyjnych 232 7. Całkowanie szeregów funkcyjnych 233 Rozdział 16. Szeregi potęgowe 235 1. Przedział zbieżności szeregu potęgowego 235 2. Ciągłość sumy szeregu potęgowego 239 3. Działania na szeregach potęgowych 240 4. Różniczkowanie szeregów potęgowych 241 5. Całkowanie szeregów potęgowych 241 6. Szereg Taylora 242 7. Rozwinięcia wybranych funkcji elementarnych 244 Bibliografia 247 Skorowidz 249