Analiza, cz. 2

Rozdział XII. Ogólne struktury matematyki 17 § 1. Przestrzenie topologiczne 21 § 2. Bazy otoczeń. Aksjomaty przeliczalności 24 § 3. Filtry 27 § 4. Przestrzenie zwarte 33 § 5. Iloczyn kartezjański (produkt) przestrzeni topologicznych 36 § 6. Przestrzenie metryczne. Przestrzenie Baire'a 39 § 7. Topologiczny produkt przestrzeni metrycznych 43 § 8. Funkcje półciągłe 44 § 9. Przestrzenie regularne 47 § 10. przestrzenie jednostajne. Zupełność przestrzeni 49 § 11. Przestrzenie jednostajne prezwarte i zwarte 57 § 12. Struktury jednostajne na przestrzeniach odwzorowań 59 § 13. Rodziny odwzorowań jednakowo ciągłych. Oólne twierdzenie Ascolego 60 § 14. Interludium 64 § 15. Struktury różniczkowalne. Przestrzenie styczne. Pola wektorowe 66 § 16. Granice rzutowe (odwrotne) przestrzeni topologicznych 76 § 17. Granice induktywne. Presnopy. Nakrycie wyznaczone przez presnop 78 § 18. Algebry. Algebry grupowe, tensorowe, Clifforda, Grassmanna i Liego. Twierdzenia Botta-Milnora, Wedderburna, Hurwitza 86 § 19. Ciała i ich rozszerzenia 97 § 20. Teoria Galois. Grupy rozwiązalne 106 § 21. Konstrukcje za pomocą linijki i cyrkla. Ciała cyklotomiczne. Twierdzenie Kroneckera-Weber 112 § 22. Elementy algebraiczne i przestępne (trescendentne) 115 § 23. Zasada Weyla 116 § 24. Riemanna teorii funkcji algebraicznych 118 § 25. Lokalny opis odwzorowania holomorficznego ¦: M › N. Indeks rozgałęzienia. Twierdzenie Hurwitza-Riemanna 126 § 26. Waluacje ciała ? (X) funkcji meromorficznych na zwartej powierzchni X (twierdzenie Dedekinda-Webera) 129 § 27. Dalsze perspektywy teorii Riemanna 131 § 28. Różniczkowanie współzmiennicze. Przesunięcie równoległe. Koneksje 134 § 29. Refleksja nad złożoną strukturą matematyczną prostych pojęć fizyki na przykładzie mechaniki analicznej 143 § 30. Wiązka styczna TM. Wiązki: wektorowe, włókniste, tensorowe i gęstości tensorowych, stowarzyszone 146 § 31. G-przestrzenie. Reprezenacje grup 154 § 32. Wiązki główne i stowarzyszone 157 § 33. Reprezentacje indukowane a wiązki stowarzyszone 162 § 34. Cofnięcie wiązki włóknistej. Grupa Picarda 164 § 35. Wiązki wektorowe a snopy lokalnie swobodne 167 § 36. Koneksje w wiązkach głównych. Forma koneksji 168 § 37. Przeniesienia równoległe w G-wiązce głównej 171 § 38. Koneksja indukowana w wiązce stowarzyszonej z wiązką główną 173 § 39. Aksjomat o nakrywaniu homotopii 174 § 40. Rozwłóknienia Serre'a. Ogólna teoria koneksji. Wnioski 176 § 41. Funkcja wykładnicza 181 § 42. Geodetyki i odwzorowania wykładnicze koneksji liniowej 182 § 43. Wiązki Riemanna (Riemanna-Hilberta). Koneksje Riemanna i Leviego-Civity. Lemat Ricciego 184 § 44. Rozmaitość Riemanna jako przestrzeń metryczna. Twierdzenie Hopfa-Rinowa 188 § 45. Krzywizna a topologia - od Gaussa do von Dycka 195 § 46. Formy różniczkowe o wartościach w wiązce wektorowej 199 § 47. Zewnętrzna różniczka kowariancyjna d^N, a krzywizna K^N  koneksji 201 § 48. Krzywizny Gaussa i sekcyjna. Przestrzenie o stałek krzywiźnie. Twierdzenie F. Schura 203 § 49. Koneksje w grupach Liego. Forma Killinga. Algebry i grupy półproste. Pola Killinga 207 § 50. Przestrzenie symetryczne. Przykłady 210 § 51. Homologia. Kohomologia. Kohomologia de Rhama 212 § 52. kohomologia snopów. Abstrakcyjne twierdzenie de Rhama 215 § 53. Charakterystyka Eulera (Eulera-Poincarégo) snopa. Twierdzenie Riemanna-Rocha 219 § 54. holomorficzne wiązki prostych i dywizory. Twierdzenie o rozszczepieniu 222 § 55. Grupy homotopii p_k (X, x₀). Rozwłóknienie Hopfa. Twierdzenie Serre'a o ciągu dokładnym grup homotopii rozwłóknienia 226 § 56. Topologia grup liniowych GL (N, C). Twierdzenie Botta o periodyczności. Twierdzenie Poincarégo, twierdzenie Hurewicza 229 § 57. Uniwersalne główne G-związki. Twierdzenie klasyfikujące. Przestrzenie klasyfikujące 231 § 58. Klasy charakterystyczne i krzywizny koneksji wiązek. Rozmaitości Schuberta 236 § 59. twierdzenie Hopfa-Poincarégo i twierdzenie Cherna-Gaussa-Bonneta 240 § 60. Stopień odwzorowania i indeks punktu osobliwego pola wektorowego. Twierdzenie Hopfa. Wzór Lefshetza-Hopfa. Twierdzenie podstawowe algebry 244 § 61. Klasy Cherna cd. (ich właściwości i aksjomatyka) 251 § 62. Różnorakie pożytki z klas charakterystycznych (orientowalność, struktury spinowe). Grupa Clifforda, grupa spin 255 § 63. Klasy charakterystyczne w fizyce. Koneksje a pola z cechowaniem 260 § 64. Elektrodynamika Maxwella-Hertza. Monopole negatywne i klasfikacja Diraca 264 § 65. Waluacje dyskretne ciała M (X) funkcji meromorficznych na zwartej powierzchni Riemanna. Twierdzenie Dedekinda-Webera 268 § 66. Ciała z waluacją (normą). Pierścienie waluacyjne. Lemat Nakayamy 271 § 67. Waluacje p-adyczne. Topologia p-adyczna Krulla. Liczby p-adyczne 277 § 68. Twierdzenie chińskie o resztach. Mocne twierdzenie aproksymacyjne 282 § 69. Twierdzenie aproksymayjne Ostrowskiego. twierdzenie o niezależności. Zastosowania do funkcji algebraicznych 284 § 70. Przykłady ciał zupełnych z waluacją dyskretną k((t)), Q_p 290 § 71. Twierdzenie o rozwinięciu (w szereg Laurenta) 292 § 72. lemat Hensla i wnioski z niego. Rozszerzenia waluacji zupełnej. Kryterium Eisensteina. Pierścienie Hensla 293 § 73. Stopień rozgałęzienia i stopień bezwładności rozszerzenia waluacji. Konstrukcja rozszerzeń waluacji 299 § 74. Twierdzenie Ostrowskiego (ef=n). Rozszerzenia Galois 305 § 75. Zastosowanie równości Ostrowskiego do funkcji algabraicznych 309 § 76. Waluacje ciała k(x) funkcji wymiernych jednej zmiennej 311 § 77. Normy ciała Q liczb wymiernych. Twierdzenie Ostrowskiego 314 § 78. Dowód twierdzenia Riemanna Rocha w teorii Riemanna 316 § 79. Charakteryzacja różniczekAbela jako różnicze Weila 323 § 80. dwoistość Serre'a. Ostateczna postać twierdzenia Riemanna-Rocha 324 § 81. Ciało funkcji algebraicznych (jednej zmiennej). Uwagi wstępne 326 § 82. Dedekinda-Webera arytmetyczna teoria funkcji algebraicznych nad dowolnym ciałem. Twierdzenie Riemanna-Rocha-Dedekinda-Webera 329 § 83. Słownik (analiza - topologia, algebra) 342 § 84. Punkty (miejsca) ciała, waluacje i pierścienie waluacyjne. Abstrakcyjna powierzchnia Riemanna 344 § 85. Funkcje algebraiczne nad ciałem k=C liczb zespolonych. Wprowadzenie struktury topologicznej i analitycznej 346 § 86. Wnioski z twierdzenia Riemanna-Rocha-dedekinda-Webera. Różnuczki pierwszego rodzaju. Wyznaczanie rodzaju niektórych ciał 353 § 87. Topologia Krulla (topologia p-adyczna). Topologia liniowa. Lokalne pierścienie Noether 356 § 88. Lokalne zwarte ciała z waluacją. Zasada Hassego 363 § 89. Pierścienie Dedekinda. Pierścień q_k liczb całkowitych ciała liczbowego K 367 § 90. Teoria dywizorów, czyli ogólna teoria podzielności 374 § 91. Ćwiczenia i uzupełnienia 382 Rozdział XIII. Teoria całki 386 § 1. Uzwarcenie osi liczbowej R 386 § 2. Całka Daniella-Stone'a 387 § 3. Funkcjonał µ* i jego własności 391 § 4. Miara zewnętrzna zbiorów 394 § 5. Półnormy N_p. Nierówności Minkowskiego i Höldera 397 § 6. Przestrzenie ?^p 401 § 7. Przestrzenie ?^p 403 § 8. Przestrzeń ?¹ funkcji całkowalnych. Całka 405 § 9. Zbiór e dla całki Radona. Półciągłość 408 § 10. Zastosowanie twierdzenia Labesgue'a. Całki z parametrem. Całkowanie szeregów 411 § 11. Funkcje mierzalne 417 § 12. Miara. Zbiory całkowalne 420 § 13. Aksjomat Stone'a i jego konsekwencje 423 § 14. Przestrzenie L^p 427 § 15. Twierdzenia Hahna-Banacha 429 § 16. Przestrzenie Hilberta. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Postać funkcjonału liniowego 434 § 17. Mocny aksjomat Stone'a i jego konsekwencje 438 § 18. Iloczyn tensorowy całek 441 § 19. Całki Radona. Miary jędrne 452 § 20. Skończone miary Radona. Miary jędrne 456 § 21. Iloczyn tensorowy całek Radona 458 § 22. Całka Lebesgue'a na Rⁿ. Zmana ziennych 460 § 23. Odwzorowanie całek Radona 468 § 24. Całki z gęstością. Twierdzenie Radona-Nikodyma 468 § 25. Całka Wienera 473 § 26. Twierdzenie Kołmogorowa 476 § 27. Całkowanie pól wektorowych 478 § 28. Całki proste przestrzeni Hilberta 485 § 29. O równoważności teorii całki Stone'a z teorią całki Radona 490 § 30. Od miary do całki 491 Rozdział XIV. Analiza tensorowa. Formy harmoniczne. Kohomologie. Zastosowania w elektrodynamice 497 § 1. Odwzorowania alternujące. Algebra Grassmanna 498 § 2. Formy różniczkowe 501 § 3. Przestrzenie kohomologii. Lemat Poincarégo 508 § 4. Całkowanie form różniczkowych 512 § 5. Elementy analizy wektorowej 526 § 6. Rozmaitości różniczkowalne 542 § 7. Przestrzenie styczne 546 § 8. Kowariantne pola tensorowe. Matryka riemannowska i formy różniczkowe na rozmaitości 553 § 9. Orientacja rozmaitości. Przykłady 558 § 10. Twierdzenie Poincarégo-Stokesa dla rozmaitości z brzegiem 568 § 11. Gęstości tensorowe. Dwoistość Weyla. Homologia 572 § 12. Dwoistość Weyla i operator * Hodge'a. Uogólnione wzory Greena na rozmaitości riemannowskiej 585 § 13. Formy harmoniczne. Teoria Hodge'a-Kodairy-de Rhama 588 § 14. Zastosowanie do elektrodynamiki 597 § 15. Formy niezminnicze (całka Hurwitza). Kohomologie zwartych grup Liego 602 § 16. Uzupełnienia i ćwiczenia 610 Skorowidz oznaczeń 613 Skorowidz nazwisk 623 Skorowidz nazw 626