Każde słowo – podobnie jak imię – niesie w sobie różną treść, budzi różne skojarzenia zależne od doświadczeń tego, kogo spotyka. I tak, słowo analiza znaczy dla każdego matematyka coś innego. Dla jednych obejmuje ono niewiele więcej niż rachunek różniczkowy i całkowy, dla innych kojarzy się z twierdzeniem Riemanna–Rocha czy formami harmonicznymi. Jest to jedyny podręcznik, który wychodząc od zera – dokładniej mówiąc od liczb wymiernych – dochodzi do teorii dystrybucji, całek prostych, analizy na rozmaitościach zespolonych, przestrzeni Kählera, teorii snopów i wiązek wektorowych itd. Celem moim było pokazanie młodemu człowiekowi piękna i bogactwa tego niezwykłego świata, jakim jest współczesna analiza matematyczna. (z Przedmowy) Książka jest wznowieniem piątego zmienionego wydania pierwszej części trylogii prof. Krzysztofa Maurina Analiza, które ukazało się nakładem PWN w 1991 roku jako tom 69 Biblioteki Matematycznej. Część I ma charakter podręcznika. Dominującym obiektem w tej części jest pochodna i jej zastosowania. Autor zaczyna wykład od pojęć i zagadnień elementarnych i dochodzi, poprzez fakty z analizy klasycznej, do problemów i teorii będącej przedmiotem badań współczesnej matematyki. Prostota i jasność wykładu, zwięzły styl, wszelkie niezbędne definicje, liczne przykłady i komentarze ułatwiają czytelnikowi – nawet o skromnej wiedzy matematycznej – przyswojenie materiału. Plik PDF ma postać skanów co uniemożliwia przeszukiwanie tekstu.

Wstęp 11 Rozdział I. Zbiory. Relacje. Odwzorowania. Rodziny. Liczby rzeczywiste 25 § 1. Oznaczenia logiczne. Prawa De Morgana 25 § 2. Algebra zbiorów 26 § 3. Iloczyn kartezjański. Relacje. Odwzorowania. Rodziny zbiorów 28 § 4. Relacje równoważności. Przestrzeń i struktura ilorazowa 32 § 5. Lemat Kuratowskiego-Zorna. Relacje porządkujące 38 § 6. Teoria liczb rzeczywistych według Cantora-Meraya 40 § 7. Działania na liczbach rzeczywistych. Granica ciągu liczb rzeczywistych 42 § 8. Twierdzenia o granicach ciągów 46 Rozdział II. Przestrzenie metryczne. Odwzorowanie ciągłe 49 § 1. Pojęcia odległości i przestrzeni metrycznej 49 § 2. Produkt przestrzeni metrycznych 50 § 3. Kresy zbioru 51 § 4. Zbiory otwarte. Topologia przestrzeni 52 § 5. Zbiory domknięte. Domknięcie zbioru 54 § 6. Ciągi Cauchy'ego; zupełność przestrzeni metrycznej 56 § 7. Odwzorowania ciągłe 57 § 8. Zwartość 61 § 9. Funkcje i odwzorowania ciągłe na zbiorach zwartych 64 § 10. Przestrzenie spójne 65 Rozdział III. Różniczkowanie i całkowanie funkcji jednej zmiennej 67 § 1. Pochodna i różniczka 67 § 2. Własności pochodnych 69 § 3. Zbiory skierowane. Ciągi uogólnione (ogólna teoria granic) 74 § 4. Całka Riemanna 77 § 5. Logarytm i funkcja wykładnicza 84 § 6. Funkcje exp oraz logarytm jako granice 87 § 7. Rozszerzanie odwzorowań ciągłych 88 § 8. Funkcje hiperboliczne 89 Rozdział IV. Zbiory i funkcje wypukłe 91 § 1. Zbiory i funkcje wypukłe 91 § 2. Wypukłość a półciągłość 95 Rozdział V. Wzór Taylora. Zbieżność ciągów odwzorowań. Szeregi potęgowe 100 § 1. Uogólnione twierdzenie o wartości śedniej rachunku całkowego 100 § 2. Wzór Taylora 101 § 3. Zastosowanie wzory Taylora 106 § 4. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu odwzorowań 110 § 5. Szeregi potęgowe 115 § 6. Funkcje analityczne 122 § 7. Funkcje trygonometryczne i ich związek z funkcją exp 124 Rozdział VI. Całki na zbiorach niezwartych 130 § 1. Całki na zbiorach niezwartych 130 Rozdział VII. Przestrzenie Banacha. Różniczkowanie odwzorowań. Ekstrema funkcji i funkcjonałów 138 § 1. Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha 138 § 2. Odwzorowania liniowe ciągłe przestrzeni Banacha 142 § 3. Różniczkowanie odzwzorowań przestrzeni Banacha 148 § 4. Formalne prawa różniczkowania 152 § 5. Twierdzenia o wartości średniej 158 § 6. Pochodne cząstkowe 161 § 7. Odwzorowania wieloliniowe 168 § 8. Pochodne wyższych rzędów 170 § 9. Wzór Taylora 184 § 10. Pochodne słabe (pochodne Gateaux) 188 § 11. Ekstrema funkcji i funkcjonałow 195 § 12. Równania Eulera-Lagrange'a 199 § 13. Różniczkowanie na zbiorach nieotwartych 200 Rozdział VIII. Metoda kolejnych przybliżeń. Lokalna odwracalność odwzorowań. Ekstrema związane 202 § 1. Metoda kolejnych przybliżeń. Zasada Banacha 202 § 2. Lokalna odwracalność odwzorowań. Twierdzenie o rzędzie 207 § 3. Odwzorowania uwikłane 214 § 4. Ekstrema związane 219 Rozdział IX. Równania różniczkowe zwyczajne 230 § 1. Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych 230 § 2. Równania różniczkowe. Zagadnienia początkowe 234 § 3. Zależność rozwiązania od parametru 241 § 4. Zależność rozwiązania od warunków początkowych 252 § 5. Układy równań różniczkowych 255 § 6. Równania wyższych rzędów 257 § 7. Równania z prawą stroną analityczną 258 § 8. Twierdzenie Peano 260 § 9. Równania różniczkowe liniowe 262 § 10. Odwzorowanie A › exp A 268 § 11. Ogólna postać rezolwenty równania jednorodnego 270 § 12. Równania liniowe w przestrzeni skończenie wymiarowej 274 § 13. Równanie skalarne rzędu n. Wyznacznik Wrońskiego 277 § 14. Równania liniowe o stałych współczynnikach 279 § 15. Równania skalarne rzędu n o stałych współczynnikach 286 § 16. Całki pierwsze 296 § 17. Układy dynamiczne 300 § 18. Równania cząstkowe rzędu pierwszego. Metoda charakterystyk 303 § 19. Twierdzenie Frobeniusa-Dieudonnégo 311 Rozdział X. Teoria krzywych w przestrzeni Eⁿ 316 § 1. Krzywa i długość łuku. Opis naturalny 316 § 2. Ortonormalizacja Schmidta 319 § 3. Wzory Freneta 321 § 4. Krzywe zwyrodniałe 324 § 5. Twierdzenie podstawowe teorii krzywych 326 Rozdział XI. Rodziny funkcji ciągłych na przestrzeni prezwartej 332 § 1. Prezwartość. Twierdzenia Ascolego 332 § 2. Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa. Jednostajna aproksymacja funkcji ciągłych na zbiorach zwartych 339 § 3. Funkcje okresowe i prawie okresowe 343 Dodatek. Całkowanie funkcji wymiernych 347 § 1. Całkowanie funkcji wymiernych 347 § 2. Ważniejsze podstawienia, całki, funkcje, szeregi 349 Skorowidz oznaczeń 353 Skorowidz nazwisk 358 Skorowidz nazw 360

Koszyk

Analiza, cz. 1