ebook Teoria ciał uporządkowanych Mieczysław Kula, Andrzej Sładek

Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego

Rok wydania: 2013

Podstawy teorii ciał uporządkowanych stworzone zostały przez Emila Artina i Ottona Schreiera w 1927 roku, w odpowiedzi na problem znany jako 17. problem Hilberta. Z biegiem czasu teoria ta stała się katalizatorem rozwoju kilku działów matematyki. Powstaje rzeczywista geometria algebraiczna, teoria form kwadratowych uzyskuje nowe narzędzia badań, a ciała uporządkowane pojawiają się w teorii modeli.

Niniejszy podręcznik zapoznaje Czytelnika z podstawami oraz głównymi, w tym również najnowszymi, zastosowaniami teorii ciał uporządkowanych. Materiał w nim zawarty pozwala głębiej zrozumieć te zagadnienia matematyczne, które odwołują się do własności uporządkowanego ciała liczb rzeczywistych. W polskiej literaturze matematycznej dotychczas nie było opracowania o takim charakterze. Dziesięć głównych rozdziałów uzupełnionych zostało dwoma dodatkami, aby prezentowany materiał był kompletny i spójny. Każdy rozdział kończy się zadaniami, które pozwolą Czytelnikowi sprawdzić i pogłębić zrozumienie przeczytanego materiału.

Podręcznik przeznaczony jest dla studentów kierunków ścisłych, doktorantów oraz pracowników naukowych pragnących zapoznać się z podstawami algebry rzeczywistej.

Spis treści ebooka Teoria ciał uporządkowanych

Spis treści

Wstęp / 9
1. Ciała formalnie rzeczywiste / 15
1.1. Porządki ciał / 15
1.2. Porządki ciała szeregów formalnych / 21
1.3. Praporządki, twierdzenia Artina–Schreiera / 23
1.4. Sygnatury, oszacowanie liczby porządków / 27
1.5. Wachlarze / 30
1.6. Przedłużenia porządków / 32
1.7. Półporządki ciał / 37
1.8. Zadania / 44

2. Formy kwadratowe / 51
2.1. Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe / 51
2.2. Formy kwadratowe nad dowolnymi ciałami / 56
2.3. Formy Pfistera / 63
2.4. Formy śladu / 66
2.5. Formy kwadratowe nad ciałami formalnie rzeczywistymi / 75
2.6. Zadania / 81

3. Ciała rzeczywiście domknięte / 85
3.1. Charakteryzacja ciał rzeczywiście domkniętych / 85
3.2. Formy śladu nad ciałami formalnie rzeczywistymi / 91
3.3. Jednoznaczność rzeczywistego domknięcia / 93
3.4. Elementarne twierdzenia analizy matematycznej / 98
3.5. Zadania / 103

4. Ciała uporządkowane / 107
4.1. Gęstość i archimedesowość / 107
4.2. Ciało funkcji wymiernych / 115
4.3. Ciągłe domkniecie ciała uporządkowanego / 120
4.4. Podciała ciała liczb rzeczywistych / 132
4.5. Twierdzenie aproksymacyjne dla norm / 137
4.6. Zadania / 139

5. Przestrzeń porządków ciała formalnie rzeczywistego / 143
5.1. Topologia przestrzeni porządków / 144
5.2. Przestrzeń sygnatur / 152
5.3. Praporządki spełniające SAP / 156
5.4. Przykłady ciał spełniających SAP / 161
5.5. Zadania / 165

6. Pierścienie waluacyjne, waluacje i punkty / 167
6.1. Podpierścienie wypukłe / 167
6.2. Podstawowe pojęcia teorii waluacji / 173
6.3. Przykłady waluacji, pierścieni waluacyjnych oraz punktów / 178
6.4. Ranga waluacji / 184
6.5. Topologia waluacyjna / 187
6.6. Twierdzenia aproksymacyjne / 189
6.7. Rozszerzenia pierścieni waluacyjnych / 195
6.8. Zadania / 200

7. Pierścienie waluacyjne w ciałach formalnie rzeczywistych / 203
7.1. Pierścienie waluacyjne formalnie rzeczywiste / 203
7.2. Pierścienie henselowskie / 214
7.3. Topologia porządkowa / 223
7.4. Punkty rzeczywiste / 225
7.5. Lokalizacja praporządków / 235
7.6. Półporządki i pierścienie waluacyjne / 238
7.7. Zadania / 245

8. Wokół 17. problemu Hilberta / 249
8.1. Punkty ciał funkcyjnych / 250
8.2. 17. problem Hilberta / 254
8.3. Twierdzenie o dodatniości / 259
8.4. Formy ternarne stopnia 4. oraz twierdzenie Hilberta / 269
8.5. Zadania / 275

9. Specjalne klasy ciał / 279
9.1. Ciała euklidesowe / 279
9.2. Ciała pitagorejskie / 284
9.3. Ciała superrzeczywiste oraz superpitagorejskie / 293
9.4. Zadania / 296

10. Geometryczne własności ciał uporządkowanych / 299
10.1. Twierdzenie spektralne / 299
10.2. Uogólnione przestrzenie euklidesowe / 306
10.3. Praporządki spełniające warunek Pascha / 323
10.4. Ciała spełniające SAP / 326
10.5. Twierdzenie Rolle’a dla wielomianów i funkcji wymiernych / 333
10.6. Zadania / 341

Dodatek 343
D.1. Grupy abelowe uporządkowane / 343
D.2. Ciało liczb rzeczywistych / 353
D.3. Zadania / 360
Bibliografia / 365
Spis oznaczeń / 365
Skorowidz / 367